ESCOLA NORMAL SUPERIOR DE COIMBRA

Dirija-se por S a paralela SB' à recta AB; como A S tem o
ponto S e o ponto O fora da recta AB, a transversal BOB'
tom também o ponto B', oposto a B, fora da recta A By e
portanto a paralela SB' é distinta (31, axi. 1)) da recta AB.
Ou o ponto B' existe sôbre a recta r, ou está fora do r: na
l. a hipótese as rectas SB' e r coincidem (30, cor. 1), isto
ó AB é paralela à recta r e existe (cor. 2) no semiplano
r A, e os seus pontos A, B estão na mesma parte da recta r\
na 2. a , que ó (def. n) a hipótese enunciada, a recta r intercepta
a recta SB' em S (31, axi.) e portanto (32, Teor. iv)
AB e r interceptam-se em um ponto l.
Portanto, a hipótese de dois pontos A, B de uma recta
existirem cm partes opostas do plano em relação a uma
recta r significa: r e AB não são paralelas, a recta AB
corta a recta r.
I'— O segmento que une dois pontos situados em partes
opostas do plano em relação a uma recta, intercepta-a em um
ponto interior. É inversamente, Cor. 1.
Com efeito, as rectas A B e r interceptam-se (Teor. i) em
um ponto I, e por hipótese os raios IA, IB são opostos: o
ponto I é interior ao segmento (A B) e a recta r divide o
segmento.
TEOK. II. — A recta (ou raio) que une o vértice de um
ângulo convexo a um ponto
interior de um segmento transversal,
intercepta qualquer
segmento transversal em um
ponto interior.
Seja AOB o càngulo e
01 o raio que intercepta o seu
segmento transversal (A B)
em o ponto interior I (fig. 25): os raios IA, IB são opostos,
os pontos A, B o todos os raios tendo a sua origem sôbre a