Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

Capítulo 1
Preliminares
Neste capítulo apresentaremos as notações e resultados fundamentais utilizados no
desenvolvimento do trabalho, introduzindo os conceitos de Distribuição e Espaços de
Sobolev, com base nos quais de…ne-se uma solução fraca de uma equação diferencial parcial.
Destacamos, também, resultados básicos de Análise Funcional sem, contudo, nos dedicarmos
as demonstrações, apenas indicaremos as referências bibliográ…cas onde as mesmas poderão
ser encontradas.
1.1 Noções Sobre Distribuições Escalares
1.1.1 Espaço das Funções Testes e Derivada Distribucional
Antes de de…nirmos o espaço das funções testes, serão feitas algumas considerações sobre
as notações.
Por um multi-índice entendemos uma n-upla = ( 1; :::; n) de números inteiros
não negativos e designamos por j j = 1 + ::: + n a ordem do multi-índice . Sendo
x = (x1; x2; :::xn) 2 R n , o operador derivação é denotado por
D =
j j @
@x 1
1 @x 2
2 :::@x n
:
Para = (0; 0; ::: ; 0), temos D 0 u = u, isto é, o operador derivação neste caso é a identidade.
2
n