Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

onde 0u = uj e 1u = @u
@
; sendo linear, contínuo e sobrejetivo. Dado 2 e H( )
satisfazendo (1.11) e (1.12), então 1 = @
@
2 H 1=2 que existe uma constante C tal que:
( ) e, da continuidade de , segue
Logo,
k 1 k H 1=2 ( ) k 0 k H 1=2 ( ) + k 1 k H 1=2 ( ) = k k H 1=2 H 1=2 ( ) C k k e H( ) .
k 1 k 2
H 1=2 ( ) C k k2 e H( ) : (1.15)
Como k k 2 H( e ) = k k 2
H1 ( ) + j j2
L2 ( ) , resulta de (1.11)1 e de (1.15) que
ou seja,
k 1 k 2
H 1=2 ( )
Finalmente, usando a continuidade do operador
C(k k2
H1 ( ) + j j2
L2 ( ) ) = C k k2
H1 ( ) ,
k 1 k H 1=2 ( ) C k k H 1 ( ) . (1.16)
1
0 0 H 1 ( ) C k 0 k H 1=2 ( )
e substituindo esta última desigualdade em (1.16), obtemos
Desta forma,
k 1 k H 1=2 ( ) C k 0 k H 1=2 ( ) .
1
0 : H 1=2 ( ) ! H 1 ( ) deduzimos que
kA'k H 1=2 ( ) = k 1 k H 1=2 ( ) C k 0 k H 1=2 ( ) = C k'k H 1=2 ( ) ;
onde C representa diversas constantes positivas. Concluímos, portanto, que o operador A é
limitado.
O operador A admite uma extensão natural e A ao espaço L p (0; T ; H 1=2 ( )), 1 p 1;
que é linear e limitada, de…nida por:
eA : L p (0; T ; H 1=2 ( )) ! L p (0; T ; H 1=2 ( )
u 7 ! e Au
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