Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

Em particular, quando u é s-mensurável, então a função numérica t 7! ku(t)k é
mensurável à Lebesgue.
Teorema 1.4 (S. Bochner) Uma função u : (0; T ) ! X é B-integrável se, e somente se,
é s-mensurável e a função numérica t 7! ku(t)k é integrável.
Demonstração: Ver [9] :
Corolário 1.3 Sejam X e Y dois espaços de Banach. Se u : (0; T ) ! X é B-integrável e
se T : X ! Y é um operador linear limitado, então a função vetorial T u : (0; T ) ! Y
de…nida por (T u) (t) = T (u (t))é B-integrável e é válida a relação
Z T
Z T
T (u(t))dt = T ( u(t)dt):
0
0
Demonstração: Ver: [9] :
Corolário 1.4 Se u : (0; T ) ! X 0
Demonstração: Ver [9] :
Z T
0
é B-integrável , então para cada v 2 X temos
u(t)dt; v =
X0 ;X
Z T
0
hu(t); vi X 0 ;X dt:
Num espaço de Hilbert H com produto interno (:; :) onde os funcionais lineares limitados
são identi…cados, via o Teorema da Representação de Riesz, com o produto interno, obtemos
do corolário 1.4 a seguinte relação
Z T
( u(t)dt; v) =
0
quando u : (0; T ) ! H for B-integrável.
Z T
0
(u(t); v)dt; 8 v 2 H;
Dado T > 0, um número real, denotaremos por L p (0; T ; X); 1 p < 1; o espaço
vetorial das (classes de) funções vetoriais u : (0; T ) ! X fortemente mensuráveis e tais
que a função numérica t 7 ! ku(t)k X está em L p (0; T ); munido da norma
juj L p (0;T ;X) =
Z T
0
16
ku(t)k p
X dt
1=p
: