Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

e de (2.19) resulta que
isto é,
Z T
0
(um(t); v) 0 (t)dt !
Somando (2.33) com (2.34) , temos
Z T
Por outro lado, segue de (2.4)
e, consequentemente,
Por densidade, obtemos u(0) = w0.
2.2 Unicidade
0
Z T
d
dt [(um(t);
Z T
v) (t)] dt !
0
0
(u(t); v) 0 (t)dt. (2.34)
d
[(u(t); v) (t)] dt,
dt
(um(0); v) ! (u(0); v), 8v 2 H 1=2 ( ) \ L p ( ).
(um(0); v) ! (w0; v), 8v 2 H 1=2 ( ) \ L p ( )
(u(0); v) = (w0; v), 8v 2 H 1=2 ( ) \ L p ( ):
Suponhamos que u e bu sejam soluções do problema (P ). Então z = u bu satisfaz
z 2 L 2 (0; T ; H 1=2 ( )) \ L 1 0; T ; L 2 ( ) \ L p (0; T ; L p ( )) ; (2.35)
z 0 2 L p0
(0; T ; H 1=2 ( ) + L p0
( )); (2.36)
z 0 + Az + juj u j^uj bu = 0 em L p0
(0; T ; H 1=2 ( ) + L p0
( )); (2.37)
z(0) = 0 sobre . (2.38)
Multiplicando (2.37) por z e integrando de 0 até t T , obtemos
Z t
0
hz 0 (s); z(s)i ds+
Z t
0
hAz(s); z(s)i ds+
Z t
0
hju(s)j u(s) jbu(s)j bu(s); z(s)i ds = 0: (2.39)
40