Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

Teorema 1.1 (Imersão de Sobolev) Se s > 0 e 1 < p < n; então: (a) W s;p ( ) ,! L q ( ),
se n > sp e p r np= (n sp) (b) W s;p ( ) ,! L q ( ), se n = sp e p r < 1
Demonstração: Ver [4] :
Corolário 1.1 Se mp < n e p q
Demonstração: Ver [4] :
np
n mp então W m;p ( ) ,! L q ( ):
Teorema 1.2 Se s1 > s2 então H s1 ( ) está imerso compactamete em H s2 ( ): Em
particular, H 1=2 ( ) c
,! H 0 ( ) = L 2 ( ):
Demonstração: Ver [8] :
Observação 1.1 Em [8] e [13] os autores estabelecem resultados de imersões no caso de
Espaços de Sobolev de ordem fracionária e, também, para Espaços de Traços do tipo H s ( ),
usando teoria de interpolação.
1.3 Espaços L p (0; T ; X) e Distribuições Vetoriais
Seja X um espaço de Banach, cuja norma será representada por k:k e no intervalo
(0; T ) R , T > 0; consideremos a medida de Lebesgue dt. Denominamos função simples
toda função ' : (0; T ) ! X que assume apenas um número …nito de valores não nulos, onde
cada valor não nulo é assumido num conjunto mensurável de medida …nita. Toda função
simples possui uma representação canônica da forma
'(t) =
kX
i=1
Ei (t):'i;
onde 'i 2 X e Ei (0; T ) é mensurável, com m (Ei) < 1; i = 1; :::; k: Os vetores 'i
são distintos e os conjuntos Ei são dois a dois disjuntos. Aqui Ei
craracterística do conjunto Ei e estes são dados por
Ei = ft 2 (0; T ); '(t) = 'ig :
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representa a função