Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

Para mostrarmos que ' 2 C 1 0 ( ), consideramos a função f : R ! R de…nida por
8
< e
f(t) =
:
1=t , t > 0
0, t 0
e observamos que f 2 C 1 (R) e se : ! R é de…nida por (x) = r 2 kx x0k 2 , então
2 C 1 (R) e ' = f 2 C 1 (R). Desde que supp(') = Br(x0), o qual é compacto, segue
que ' 2 C 1 0 ( ).
Das propriedades do supp estabeleciadas anteriormente, vê-se facilmente que C 1 0 ( )
é um espaço vetorial e supp(D u) supp(u), 8 2 N n , quando u for su…cientemente
derivável.
É possível introduzir uma topologia em C 1 0 ( ), denominada topologia limite indutivo,
que faz deste espaço um espaço topológico denotado por D( ) e cujos objetos serão
denominados funções testes.
Convergência em D( ).
Dizemos que uma seqüência ('n)n2N de funções testes converge para ' 2 D( ), quando:
( i ) Existe um subconjunto compacto K de tal que
supp('n) K, 8 n e supp(') K.
( ii ) D 'n ! D ' uniformemente sobre K, para todo multi-índice .
Por distribuição escalar sobre entendemos uma forma linear e contínua sobre D( ),
isto é, uma forma T : D( ) ! R, tal que:
T ( ' + ) = T (') + T ( ), 8 2 R e ', 2 D( )
e T é contínua, isto é, se ('n)n2N converge para ' em D( ) então (T ('n))n2N converge
para T (') em R. O valor da distribuição T em ' será representado por hT; 'i e por D 0 ( )
estaremos representando a coleção de todas as formas lineares contínuas T : D( ) ! R.
Dadas T e S em D 0 ( ) de…nimos:
( i ) hT + S; 'i = hT; 'i + hS; 'i, ' 2 D( )
4
.