Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

Na teoria dos espaços L p ressaltamos três desigualdades básicas: a Desigualdade de
Young (DY), a Desigualdade de Hölder (DH) e a Desigualdade de Minkowski (DM)
1 1
+
p q
(DY) Desigualdade de Young: Seja 1 < p < 1 e q o expoente conjugado de p, isto é,
= 1. Se a; b 2 R são não negativos, então:
ab
a p
p
+ bq
q .
(DH) Desigualdade de Hölder: Sejam 1 p 1 e q o expoente conjugado de p. Se
u 2 L p ( ) e v 2 L q ( ) então:
uv 2 L 1 ( ) e juvj L 1 ( ) juj L p ( ) jvj L q ( ) .
(DM) Desigualdade de Minkowski: Se u; v 2 L p ( ); 1 p 1; então:
ju + vj L p ( ) juj L p ( ) + jvj L p ( ) :
De…nição 1.2 Sejam V e H dois espaços com V H. Diremos que V está imerso
continuamente em H quando a aplicação inclusão i : V ! H for contínua.
Com a de…nição acima, estabelecemos a seguinte cadeia de injeções contínuas e densas:
D( ) ,! L p ( ) ,! L 1 loc( ) ,! D 0 ( ), 1 p < 1.
Proposição 1.1 Sejam R n uma aberto, 1 p 1, u 2 L p ( ) e (un)n2N uma
seqüência em L p ( ) com un ! u em L p ( ): Então existe uma subseqüência de (un), que
ainda denotaremos por (un)n2N; tal que:
( i ) un(x) ! u(x) q.s. em ;
( ii ) Existe h 2 L p ( ) tal que jun(x)j h(x) 8 n 2 N; q.s. em :
Demonstração: Ver [3] :
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