Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

Agora, de (2.22), (2.24) e usando a unicidade do limite, comprovamos nossa a…rmação.
De (2.20), (2.21) e (2.22) obtemos
hu 0 m; wi ! hu 0 ; wi , 8w 2 L p (0; T ; H 1=2 ( ));
D E
eAum; w
!
D E
eAu; w , 8w 2 L 2 (0; T ; H 1=2 ( ));
hjumj um; wi ! hjuj u; wi , 8w 2 L p (0; T ; L p ( )).
Considerando, em particular, w = v , com v 2 H 1=2 ( ) \ L p ( ) e 2 L p (0; T ) e v 2
L p (0; T ; H 1=2 ( ) \ L p ( )), resulta
Z T
0
Z T
0
Z T
0
(u 0 m(t); v) (t)dt !
(Aum(t); v) (t)dt !
(jum(t)j um(t); v) (t)dt !
No sentido distribucional, podemos a…rmar que
para todo v 2 H 1=2 ( ) \ L p ( ), 2 D (0; T ).
Z T
0
Z T
0
Z T
0
hu 0 (t); vi (t)dt; (2.25)
hAu(t); vi (t)dt; (2.26)
hju(t)j u(t); vi (t)dt. (2.27)
h(u 0 m(t); v); i ! hhu 0 (t); vi ; i (2.28)
h(Aum(t); v); i ! hhAu(t); vi ; i (2.29)
h(jum(t)j um(t); v); i ! hhju(t)j u(t); vi ; i (2.30)
Somando o lado esquerdo de (2.28) - (2.30), obtemos por (P A)1
h(u 0 m(t); v); i + h(Aum(t); v); i + h(jum(t)j um(t); v); i = hhf(t); vi ; i ; (2.31)
para todo v 2 Vm0 Vm, (m m0) e 2 D(0; T ). Fazendo m ! 1 em (2.31) concluímos
que
hhu 0 (t); vi ; i + hhAu(t); vi ; i + hhju(t)j u(t); vi ; i = hhf(t); vi ; i (2.32)
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