Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

Para uma distribuição qualquer de D 0 (R); Schwartz formulou o seguinte conceito:
dado T 2 D0 (R), de…ne-se a derivada distribucional de T como sendo a forma linear
dT
: D(R)
dx
! R dada por:
dT
; '
dx
=
d'
T;
dx
; 8' 2 D(R). (1.3)
No caso em que T e dT
são de…nidas por funções localmente integráveis u e v,
dx
respectivamente, então (1.2) e (1.3) coincidem. Agora, se u 2 C1 (R) então (1.2) e (1.3)
identi…cam-se a (1.1), isto é, a derivada no sentido clássico identi…ca-se à derivada no sentido
das distribuições.
Sejam T 2 D 0 ( ) e 2 N n um multi-índice. A derivada distribucional de ordem de
T é a distribuição D T de…nida por:
hD T; 'i = ( 1) j j hT; D 'i ; 8 ' 2 D( ). (1.4)
Antes de apresentarmos os espaços de Sobolev, ressaltamos dois fatos interessantes:
(i) A aplicação
D : D 0 ( ) ! D 0 ( )
T 7 ! D T
é linear e contínua no sentido da convergência de…nida em D 0 ( ), isto é:
Tn ! T em D 0 ( ) =) D Tn ! D T em D 0 ( ). (1.5)
(ii) A derivada de uma distribuição localmente integrável pode não ser localmente
integrável. Isto motivará o conceito para Espaços de Sobolev.
Exemplo 1.4 Seja u a função de Heaviside de…nida em R do seguinte modo:
8
< 1; se x 0
u(x) =
:
: 0; se x < 0
Esta função é localmente integrável em R, no entanto sua derivada não o é. De fato:
hu 0 ; 'i = hu; ' 0 i =
Z +1
para toda função ' 2 D(R). Portanto, u 0 = 0 =2 L 1 loc (R):
0
8
' 0 (x)dx = '(0) = h 0; 'i