Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

De (2.4) e considerando que f 2 L2 (0; T ; H 1=2 ( )), obtemos
1
2 jum (t)j 2
L2 ( ) + Z t
2 0
onde C > 0 independe de m e de t 2 [0; tm].
De (2.9) segue que
jum (t)j 2
L 2 ( )
onde C independe de m e de t 2 [0; tm]. Desde que
temos,
jum (t)j 2
L 2 ( ) = (um (t) ; um (t)) =
jY (t)j 2
R m =
kum (s)k 2
H1=2 ( ) ds C, (2.9)
C,
mX
gjm(t)wj;
j=1
mX
!
gjm(t)wj
j=1
mX
g 2 jm(t) C:
j=1
=
mX
g 2 jm(t);
Considerando b su…cientemente grande de modo que p C < b, segue do Corolário 1.6
que podemos prolongar Y (t) ao intervalo [0; T ]. Assim o sistema aproximado possui solução
um (t) de…nida no intervalo [0; T ] e como conseqüência de (2.9), temos as estimativas:
2
Z t
0
j=1
kum (s)k 2
H1=2 ( ) ds C; (2.10)
1
2 jum (t)j 2
L 2 ( )
onde C > 0 independe de m e de t 2 [0; T ].
C; (2.11)
Observação 2.2 Para cada t 2 [0; T ], seja m (x; t) ; x 2 ; satisfazendo m (x; t) = 0;
x em e m (x; t) = um (x; t) ; x 2 : Então, segue da Identidade de Green que:
(Aum (t) ; um (t))
Z
=
@ m (x; t)
@
Z
m (x; t) dx = jr m (t)j 2 dx 0.
Da Observação 2.2 e de (2.7) obtemos, após integração de 0 a t 2 [0; T ], a seguinte relação:
Z tZ
jr m (s)j 2 Z t
dxds + jum (s)j p
Lp ( ) ds
1
2 jum (t)j 2
L 2 ( ) +
= 1 2
jw0mjL 2 2 ( ) +
0
Z t
0
0
hf(s); um (s)iH 11=2 ( );H1=2 ( ) ds
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