Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

Reciprocamente, dada uma sucessão (un) de H; com un 2 En; 8n; e 1P
junj 2 < 1; então a
série P
un é converge em H e u = 1P
un veri…ca un = PEnu:
n
Demonstração: Ver [3] :
n=1
De…nição 1.4 Uma seqüência (w ) de vetores de H é chamada base Hilbertiana se:
( i ) (w ; w ) =
8
< 1;
=
: 0;
se
se
=
6=
;
( ii ) As combinações lineares …nitas dos w são densas em H:
Resulta do Teorema 1.5 que se (w ) 2N é uma base Hilbertiana de H, então para todo
u 2 H tem-se:
u =
1X
(u; w )w ; e juj 2 =
n=1
1X
j(u; w )j 2 :
Teorema 1.6 Todo espaço de Hilbert separável admite uma base Hilbertiana.
Demonstração: Ver [3] :
1.5 Sobre o Prolongamento de Soluções
Seja D um subconjunto aberto do R m+1 cujos elementos serão denotados por (t; x),
x 2 R m ; t 2 R e seja f : D ! R m uma função não necessariamente contínua. Se existe
uma função x(t); absolutamente contínua, de…nida em algum intervalo da reta I tal que
(t; x(t)) 2 D, para todo t 2 I e
então dizemos que x(t) é uma solução de (1.9) sobre I:
n=1
x 0 = f(t; x) para quase todo t 2 I (1.9)
Dado (t0; x0) 2 D consideremos o seguinte problema do valor inicial associado a (1.9)
8
< x
:
0 = f(t; x)
x(t0) = x0
: (1.10)
20
n=1