Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

Lema 1.1 (Du Bois Raymond) Seja u 2 L1 loc ( ). Então
Z
u(x)'(x)dx = 0, 8 ' 2 D( )
se, e somente se, u = 0 quase sempre em .
Demonstração: Ver [11].
Do Lema de Du Bois Raymond segue que cada função numérica u; localmente integrável
em , determina de maneira unívoca uma distribuição Tu, no seguinte sentido: se u; v forem
localmente integráveis em , então Tu = Tv se, e somente se, u = v q.s. em . De fato,
Tu = Tv () hTu; 'i = hTv; 'i ; 8 ' 2 D( )
Z
Z
() u(x)'(x)dx = v(x)'(x)dx
Z
() (u v)(x)'(x)dx = 0; 8 ' 2 D( )
() u v = 0 q.s. em :
Por esta razão, identi…camos a função u com a distribuição Tu por ela de…nida e podemos
concluir que o espaço L1 loc ( ), das funções localmente integráveis, se identi…ca com uma parte
do espaço das distribuições D 0 ( ). Simbolicamente,
L 1 loc( ) = Tu; u 2 L 1 loc( ) D 0 ( ).
No exemplo dado a seguir, construiremos uma distribuição que não é gerada por uma função
de L 1 loc ( ). Isto mostra que de fato L1 loc ( ) é uma parte própria de D0 ( ):
Exemplo 1.3 Fixado x0 2 ; de…nimos x0 em D( ) do seguinte modo:
h x0; 'i = '(x0); 8 ' 2 D( ).
Então x0 : D( ) ! R é uma distribuição sobre , denominada distribuição de Dirac ou
medida de Dirac. No entanto, mostra-se que não existe u 2 L 1 loc ( ) tal que x0 = Tu; isto
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