Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

temos que u(t) 2 L p ( ) e portanto u(t) é uma função de ! R cujo valor em x será
denotado por u(x; t): Assim,
Z T
0
ju(t)j p
Lp ( ) dt =
Z T
0
Z
ju(x; t)j p Z
dxdt =
Q
ju(x; t)j p dQ = juj p
L p (Q) :
Dado u 2 L p (0; T ; X); 1 p < 1; de…nimos o operador Tu : D(0; T ) ! X por:
Tu(') =
Z T
0
u(t)'(t)dt;
onde a integral é calculada no sentido de Bochner em X: A aplicação Tu é linear e contínua
de D(0; T ) em X e por esta razão é denominada distribuição vetorial.
O espaço vetorial das aplicações lineares e contínuas de D(0; T ) em X é denominado
o espaço das distribuições vetoriais sobre (0; T ) com valores em X; o qual denotaremos
D 0 (0; T ; X):
Po C 0 ([0; T ] ; X); 0 < T < 1; representaremos o espaço de Banach das funções
comtínuas u : [0; T ] ! X munido da norma da convergência uniforme
kukC0 ([0;T ];X) = max ku(t)kX :
t2[0;T ]
Por C 0 w([0; T ] ; X); denotaremos o espaço das funções u : [0; T ] ! X tais que a
aplicação t 7 ! hv; u(t)i X 0 ;X é contínua em [0; T ] ; 8 v 2 X 0 : Uma tal função u é denominada
fracamente contínua e no caso em que X = H é um espaço de Hilbert, a continuidade fraca
de u é equivalente a continuidade da aplicação t 7 ! (u(t); v)H; v 2 H:
Lema 1.5 Sejam V e H espaços de Hilbert, V imerso continuamente em H; u 2 L p (0; T ; V )
e u 0 2 L p (0; T ; H); com 1 p 1;então
Demonstração: Ver Lions [7] :
u 2 C 0 ([0; T ]; H) \ C 0 w([0; T ]; V ):
Lema 1.6 (Lema de Compacidade de Aubin-Lions) Sejam B0; B; B1 espaços de
Banach re‡exivos tais que, B0
c
,! B ,! B1. Se 1 < p0, p1 < 1 e T > 0, então o espaço
W = fu 2 L p0 (0; T ; B0); u 0 2 L p1 (0; T ; B1)g
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