Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

2.1 Existência de Solução
A existência de solução será estabelecida utilizando o Método de Faedo-Galerkin, o qual
consiste em obter uma seqüência de soluções aproximadas do problema (P ) e, em seguida, por
meio de estimativas a Priori, passar o limite, em uma topologia adequada, nesta seqüência de
soluções aproximadas. Por simplicidade, dividiremos a demonstração nas seguintes etapas:
1. Construção de soluções aproximadas em subespaços de dimensão …nita.
2. Estimativas a Priori.
3. Passagem ao limite nas soluções aproximadas.
4. Condição Inicial.
2.1.1 Etapa 1: Soluções Aproximadas
Consideremos fw g 2N uma base Hilbertiana de H 1=2 ( ) \ L p ( ) e para cada m =
1; 2; 3; : : :seja Vm = [w1; w2; :::; wm] o subespaço de H 1=2 ( ) \ L p ( ) gerado pelos m primeiros
vetores de fw g 2N . O problema aproximado, associado a (P ), consiste em determinar uma
seqüência de funções da forma:
um(x; t) =
mX
gjm(t)wj(x) 2 Vm,
sendo gjm (t) de classe C 1 , de modo que satisfaçam ao sistema:
(P A)
j=1
(u 0 m(t); v) + (Aum(t); v) + (jum(t)j um(t); v) = (f(t); v) , 8v 2 Vm;
um(0) = w0m 2 Vm;
onde w0m é a aproximação de w0. Como H 1=2 ( ) \ L p ( ) ,! L 2 ( ) então, usando o processo
de Gram-Schmidt, a base fw g 2N pode ser considerada ortonormal em L 2 ( ) e sendo w0 2
L 2 ( ), podemos aproximá-lo por combinações lineares …nitas dos w , isto é, existem jm 2 R,
j = 1; 2; :::; m, tais que
w0m =
mX
j=1
jmwj ! w0 em L 2 ( ). (2.4)
28