Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

Em dimensão n 2:
com norma e produto escalar
H 1 ( ) = u 2 L 2 ( ); @u
kuk 2 Z
=
Z
((u; v)) =
@xi
2 L 2 ( ); i = 1; :::; n
ju (x)j 2 nX
Z
2
@u
dx +
(x) dx.
@xi
i=1
nX
Z
@u
u (x) v (x) dx + (x)
@xi
@v
(x) dx
@xi
O espaço W m;p ( ) é re‡exivo, se 1 < p < 1, e separável quando 1 p < 1:
1.2.3 Os Espaços W m;p
0 ( ) e W m;q ( )
Enbora o espaço das funções testes D( ) seja denso em L p ( ), 1 p < 1, em geral ele
não é denso em W m;p ( ): Por esta razão, de…ne-se o espaço W m;p
0 ( ) como sendo o fecho de
D( ) em W m;p ( ); isto é:
D( ) W m;p ( )
i=1
= W m;p
0 ( ).
Quando p = 2; o espaço W m;p
0 ( ) será representado por Hm 0 ( ):
Se 1 p < 1 e q é o expoente conjugado de p, representamos por W m;q ( ) o dual
topológico de W m;p
0 ( ) e por H m ( ) o dual topológico de Hm 0 ( ).
O espaço H m 0 ( ) pode ser caracterizado por meio do Operador de Traço. De fato,
inicialmente observamos que se é um aberto limitado do R n com fronteira bem regular,
então
D( ) = f'j ; ' 2 D(R n )g
é denso em H m ( ) e, dessa forma, dado ' 2 H m ( ) existe uma seqüência (' ) 2N em D( )
tal que ' ! ' na norma de H m ( ) e anotamos:
'j = lim
!1 ' j ;
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