Equações Diferenciais Parciais Não Lineares Sobre a Fronteira de ...

Usando (2.15) obtemos
jPm(jumj um)j L p 0 (0;T ;H 1=2 ( )) C jjumj umj L p 0 (0;T ;L p0 ( ))
(Pmf) é limitado em L 2 (0; T ; H 1=2 ( )).
< 1.
Isto segue diretamente da limitação do operador Pm e do fato de f pertencer a
L 2 (0; T ; H 1=2 ( ))
Z T
0
kPmf(t)k 2
H 1=2 Z T
( ) dt C
0
kf(t)k 2
H 1=2 ( ) < 1:
Como 1 p0 2, então L2 (0; T ; H 1=2 ( )) ,! Lp0(0; T ; H 1=2 ( )) e tendo em vista que
as limitações acima independem de m; podemos concluir da análise de (2.16) que a seqüência
(u0 m) é limitada em Lp0(0; T ; H 1=2 ( )).
Com a certeza de que existe solução aproximada de (P ) no intervalo [0; T ], objetivamos,
na próxima etapa, obter o limite destas soluções e provar que este limite é a solução
mencionada no Teorema 2.1.
2.1.3 Etapa 3: Passagem ao Limite
Das estimativas anteriores, encontramos as seguintes limitações:
(um) é limitada em L 2 (0; T ; H 1=2 ( )) \ L 1 0; T ; L 2 ( ) \ L p (0; T ; L p ( ))
(u 0 m) é limitada em L p0
(0; T ; H 1=2 ( ))
eAum é limitada em L 2 (0; T ; H 1=2 ( ))
(jumj um) é limitada em L p0
(0; T ; L p0
( )) = L p0
( ) .
Fazendo uso do Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki, deduzimos que existe uma
subseqüência de (um), que por simplicidade denotaremos da mesma forma, tal que:
um ! u em L p (0; T ; L p ( )) = L p ( ) , fraco - ; (2.17)
um ! u em L 2 (0; T ; H 1=2 ( )), fraco - ; (2.18)
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