Eurasian education №1 2019
«Eurasian education» is an International journal aimed to publish theoretical and empirical research data from various Kazakhstan schools and fields of science as well as from countries of near and far abroad. One of the most important tasks of the journal is to promote the professionalization of education and research works in the field of social sciences and humanities and natural sciences, as well as dissemination of best practices of pedagogue. The journal is targeted on wide range of readers
«Eurasian education» is an International journal aimed to publish theoretical and empirical research data from various Kazakhstan schools and fields of science as well as from countries of near and far abroad. One of the most important tasks of the journal is to promote the professionalization of education and research works in the field of social sciences and humanities and natural sciences, as well as dissemination of best practices of pedagogue. The journal is targeted on wide range of readers
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
¹5 (25) 2018<br />
Ìàòåìàòèêà<br />
Қосылу теориялары: α және β екі тепе-теңдік функцияларының мәндерін білу үшін , (α + β) тригонометриялық<br />
функцияларының мәндерін және осы аргументтердің айырмашылығын (α - β) есептеуге мүмкіндік береді.<br />
Қосу формулалары:<br />
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ<br />
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ<br />
cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ<br />
cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ<br />
tgα ± tgβ<br />
tg(α ± β) =<br />
10<br />
ctg(α ± β) =<br />
1 ∓ tgα ∙ tgβ<br />
−1 ± ctgα ∙ ctgβ<br />
ctgα ± ctgβ<br />
Келтіру формулалары<br />
Тригонометриялық функциялардың көмегімен күрделі бұрыштың тригонометриялық функцияларымен<br />
көрінетін формулалар келтіру формулалары деп аталады.<br />
Аргументті екі есе көбейту және бөлу үшін формулалары<br />
sin2α = 2sinαcosα<br />
cos2α = cos 2 α − sin 2 α<br />
2cos 2 α = 1 − cos2α<br />
tg2α =<br />
2tgα<br />
1 − tg 2 α<br />
Тригонометриялық функцияларды көбейтуден қосуға түрлендіру арналған формулалары:<br />
cosα ∙ cosβ = cos(α − β) + cos (α + β)<br />
sinα ∙ sinβ = cos(α − β) − cos (α + β)<br />
sinα ∙ cosβ = sin(α + β) + sin (α − β)[4]<br />
Тригонометриялық функцияның әрбір мәні бұрыштардың шектелмеген жиынтығына сәйкес болғандықтан,<br />
ешқандай ескертпелер жасалмаған жағдайда, тригонометриялық теңдеу шешімдердің шексіз саны бар болады.<br />
Тригонометриялық теңдеулерді шешудің ең кең таралған тәсілі теңдеулердегі әртүрлі тригонометриялық<br />
функциялар олардың біреуінің көрінісі болып табылады және белгісіз ретінде функцияны алып, алгебралық<br />
теңдеуді шешеді, нәтижесінде қарапайым тригонометриялық формасындағы теңдеулер пайда болады:<br />
sin x = a x = b<br />
tg x = c x = d<br />
мұндағы a, b, c, d – сандар болып табылады. a - интервалдан тұратын бұрыш, π / 2-ден π / 2-ге дейінгі синусын<br />
білдіреді. b - 0-ден π аралығындағы аралығы және косинасы b тең. c - π / 2-ден π / 2 аралығындағы<br />
аралығындағы бұрыш, оның тангенесі c. d - 0-ден π аралығындағы аралығындағы бұрыш, оның котангенске d<br />
тең.<br />
Тригонометриялық теңдеуді шешу, әдетте, қарапайым теңдеулердің бір немесе бірнеше шешіміне дейін<br />
азаяды. Шешімнің негізгі идеяларының бірі теңдеулердің барлық түрлеріне ортақ мән болып табылады -<br />
қарапайым теңдеулерге келмейінше, бір теңдеуден теңдеу-эффектке немесе балама теңдеуге (немесе<br />
олардың жүйесі мен жиынына) көшу және т.б., онда бастапқы теңдеудің шешімін аламыз. Өтпелі кезеңде<br />
тригонометриялық өрнектердің бірдей түрлендірулер формулаларын пайдалану негізінде жалпы әдістер<br />
(теңдеулердің кез келген түрі үшін) және нақты әдістер қолданылады.[5,9]<br />
Тригонометриялық теңдеулерді шешу бойынша ұсыныстар<br />
1. Егер функция аргументтері бірдей болса, аргументтері өзгертпестен формулаларды пайдаланып бірдей<br />
функцияларды алуға тырысыңыз.<br />
2. Егер функция аргументтері жартысымен ерекшеленсе, қос дәлел формулаларын пайдаланып дәл сол<br />
дәлелдерді алуға тырысыңыз.<br />
3. Егер функциялардың аргументтері төрт есе айырмашылығы болса, оларды аргументке келтіру әкелуге<br />
тырысыңыз.<br />
4. Егер бірыңғай аргумент функциясы бар болса, біріншіден жоғары дәреже, қысқартылған көбейту үшін<br />
дәрежені немесе формулаларды азайту үшін формулаларды қолданып дәрежені төмендетуге тырысыңыз.<br />
5. Егер бірінші дәрежелі атаудың әр түрлі дәлелдері бар функциялардың қосындысы болса (2,3 жағдайдан<br />
тыс болса), жалпы фактордың пайда болуы үшін өнімге айналдыруға тырысыңыз.<br />
6. Егер әр түрлі аргументтермен бірінші дәрежелі қарама-қарсы функциялар қосындысы (2, 3 жағдайында)<br />
болса, қосындысы формулаларын қолданып көріңіз, содан кейін ісін 5 алыңыз.<br />
7. Егер теңдеуде әртүрлі аргументтердің косинусы (синусы) өнімі болса, оны дәлелдеудің синусын<br />
(косинусын) көбейту және бөлу арқылы оны қосарланған аргументтің синусалық формуласына азайтуға<br />
тырысыңыз:<br />
2sinx ∙ cosx ∙ cos2x ∙ cos4x<br />
cosx ∙ cos2x ∙ cos4x = = ⋯<br />
2sinx<br />
8. Егер теңдеуде сандық термин (мультипликатор) болса, ол бұрыш функциясының мәндері ретінде<br />
ұсынылуы мүмкін.<br />
Мысалы:√2sinx + cosx = 2 √3 sinx + 1 cosx = 2 cos π sinx + sin π cosx = 2 sin π + x[6]<br />
2 2 6 6 6<br />
Тригонометриялық теңдеулерді шығару кезінде төмендегідей әдістерді қолдануға болады:<br />
алгебралық әдіс, көпмүшеге жіктеу әдісі, теңдеуді бір дәрежеге келтіру әдісі, жарты бұрышақа келтіру<br />
формуласын қолдану , қосымша бұрышты енгізу әдісі, берілген айнымалыны түрлендіру әдісі, әмбебап<br />
ауыстыру әдісі, дәрежені төмендету төмендету арқылы теңдеулерді шешу, квадрат теңдеуге келтіп шығару<br />
әдісі, универсалды тригонометриялық келтірулер әдісі.
Change language