Eurasian education №1 2019

¹5 (25) 2018
Ìàòåìàòèêà
По условию задачи, AD 3R x , AE 3R
Отсюда находим, что
R 3R x
y
3R
Тогда получим исследуемую функцию
V x
. Тогда получим
3R x y .
3R
R
. Полученный результат подставляем в формулу объема цилиндра.
V x .
3R x x 9R 6Rx x 9 R x 6 Rx
x
x
3
9 9
Теперь исследуем эту функцию на экстремум.
x R x R
1 2
Построим таблицу исследования функции на экстремум
При x
2 2 2
2 2 3
2 2
'
9 R 1 2 R x 3 x
V x 0 0
9
2 2
x 4 R x 3 R 0
3 0
x 3 R , x R
x ( ; R ) R ( R;3R ) 3R ( 3 R;
)
'
V x
V x
наибольший объем:
V R
+ 0 - 0 +
max
R функция V x имеет максимум при x R ,
9 R R 6 R R R 4
R
9 9
2 2 3 3
min
2R
y цилиндр, вписанный в конус имеет
3
Пример – 3. Газовая смесь состоит из окиси азота и кислорода. Требуется найти концентрацию кислорода,
при которой содержащаяся в смеси окись азота окисляется с максимальной скоростью [2].
2NO O 2NO
выражается
Решение. В условиях практической необратимости скорость реакции
2 2
формулой
2
kx y ,
где x – концентрация NO в любой момент времени,
y – концентрация O
2
,
k – константа скорости реакции, не зависящая от концентрации реагирующих компонентов и зависящая
только от температуры.
Концентрация газов будем выражать в объемных процентах. Тогда y 100
x ,
исследуемая функция, скорость реакции, имеет вид:
x kx 2 100 x
или x k 100x 2 x
3
.
2
Найдем первую производную этой функции x k 200x 3x
2
Решая уравнение k 200x 3x
0 , считая что k 0
.
, находим критические точки.
200
x200 3x
0 , x1 0 , 200 3x
0 , x2
66,7%
3
Для того чтобы установить, какое из полученных значений x соответствует максимальной скорости
окисления, найдем вторую производную функции
x
:
x k 200 6x
.
6