Analys och presentation av fysikexperiment - Fysikum

26 KAPITEL 3. MÄTNINGAR OCH FEL
Ofta säger eller skriver man ”mätfelet” eller ”felet” när man menar den
uppskattade osäkerheten. Det beror p˚a att man i praktiken aldrig vet hur stort
det faktiska felet i en mätning är. (Om man visste det skulle man ju kunna ange
det sanna värdet utan fel.) Men det är viktigt att först˚a skillnaden mellan det
egentliga mätfelet (avvikelsen fr˚an det sanna värdet) och uppskattningen av hur
stort det kan vara. I diskussionen som följer här är distinktionen väsentlig.
3.1 Felfortplantning
Ofta är den storhet vi vill bestämma inte direkt mätbar, utan vi m˚aste mäta
en eller flera storheter och sedan beräkna den vi är intresserade av, l˚at oss kalla
den a (i praktiken använder vi först˚as den brukliga beteckningen, t.ex. g för
tyngdaccelerationen eller G för Newtons gravitationskonstant).
Antag allts˚a att vi bestämmer a utifr˚an mätningar av ett antal variabler
x,y,z... Till att börja med begränsar vi oss till en variabel, x. För att se hur
mycket osäkerheten i x p˚averkar v˚art värde för a m˚aste vi ändra p˚a x s˚a mycket
som osäkerheten till˚ater och se hur a ändras. Även om beräkningen av a är
ganska kr˚anglig s˚a är det mycket lätt att göra om den för ett annat värde p˚a x.
Allt vi behöver göra är att ändra in-värdet till v˚art program 2 .
För att uttrycka det lite mer precist kan vi kalla v˚art mätvärde p˚a x för
x, och motsvarande beräknade värde p˚a a kallar vi a. Om v˚ar uppskattning av
osäkerheten i mätningen är ∆x ersätter vi allts˚a x med x + ∆x, vilket ger ett
nytt a-värde som vi kan kalla a + . Vi kan ocks˚a använda x−∆x och f˚a ett annat
a-värde, a − . Intervallet mellan a − och a + svarar allts˚a mot osäkerheten i a. Om
detta intervall är n˚agorlunda symmetriskt runt a kan vi säga att osäkerheten i
a är ∆a = 1
2 |a+ − a − | och skriva v˚art resultat för a som a = a ± ∆a 3 .
Att bestämma vilken effekt felet (osäkerheten) i en variabel har efter att den
använts i en beräkning kallas för felpropagering eller felfortplantning. Metoden
för felpropagering som beskrivits ovan brukar ibland kallas för störningsräkning.
Vi ”stör” ing˚angsvärdet för x och upprepar beräkningen för att se hur resultatet
p˚averkas.
Men hur blir det om a beror p˚a flera uppmätta storhete, t.ex. x,y,z? Egentligen
borde vi variera x, y och z tillsammans för att se hur mycket a kan variera.
Det kan ju vara s˚a att n˚agon speciell kombination av x,y,z gör att a antar
extrema värden. Oftast kan vi emellertid behandla osäkerheterna som sm˚a och
betrakta a som en linjär funktion av de uppmätta variablerna. Vi kan d˚a skriva
a = as + α(x − xs) + β(y − ys) + γ(z − zs) (3.2)
där α,β och γ är konstanter, index s betecknar ett sant värde, och a = a(x, y, z)
är det värde p˚a a som svarar mot v˚ara uppskattningar av x, y och z. För
diskussionen här inför vi det faktiska felet i x,
δx = x − xs
2 Att koda den kr˚angliga beräkningen som ett (väl dokumenterat och kommenterat) datorprogram
gör det lätt att kontrollera vad man gjort och att variera olika saker och kontrollera
att resultatet bär sig rimligt ˚at.
3 Om avvikelsen fr˚an ba är mycket större˚at ena h˚allet än˚at andra bör vi ange asymmetriska
fel för a, som t.ex. a = 3,0 +0,3
−0,7. Vi kan först˚as ocks˚a ta hänsyn till asymmetriska fel för x i
den här metoden om vi har anledning till det.