Analys och presentation av fysikexperiment - Fysikum

38 KAPITEL 4. SANNOLIKHETER OCH STATISTIK
Sannolikheten att f˚a ett värde i ett litet intervall dx blir allts˚a f(x)dx, och
sannolikheten att x hamnar mellan a och b blir allts˚a
b
P(a < x < b) = f(x)dx (4.1)
Man säger att värdena p˚a x är fördelade längs x-axeln p˚a ett sätt som beskrivs
av sannolikhetstätheten f(x), och ibland talar man om f(x) som en sannolikhetsfördelning.
Eftersom sannolikheten att f˚a n˚agot värde p˚a x när man väljer
ett slumpmässigt är 1, blir
∞
f(x)dx = 1 . (4.2)
−∞
Figur 4.1 visar ett exempel p˚a en sannolikhetsfördelning. Det skulle kunna
vara sannolikhetstätheten för olika värden vid en mätning där det sanna värdet
är 105,5. Varje mätning ger ett slumpmässigt värde, och med fem mätningar
skulle vi t.ex. kunna f˚a den uppsättning värden som är markerade med pilar.
Gör vi fem mätningar till f˚ar vi fem andra värden. Det g˚ar inte att säga vilka,
men eftersom sannolikhetstätheten är mycket nära noll utanför intervallet som
visas i figuren är det ytterst osannolikt att n˚agot skulle hamna där. Om vi
f(x)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
95 100 105 110 115
x
Figur 4.1: Ett exempel p˚a fem värden dragna fr˚an en sannolikhetstäthet centrerad
vid x = 105,5.
inte känner till fördelningen kan vi uppskatta hur den ser ut genom att göra
m˚anga mätningar. I s˚a fall är det inte särskilt praktiskt att markera de enskilda
mätningarna som i Figur 4.1. Det är inte heller särskilt översk˚adligt att
bara lista dem i en tabell. Ett praktiskt och ofta använt sätt att ˚ask˚adliggöra
värden dragna ur en sannolikhetsfördelning är ett histogram. Antag att vi gör
200 mätningar istället för fem. Att lista alla 200 värdena blir inte s˚a översk˚adligt.
Istället kan vi dela in dem i klasser (eller ”binnar” efter engelskans bins). Varje
klass svarar mot en del av x-axeln. Väljer vi klassbredden 2 i exemplet kanske
v˚ara 200 värden fördelar sig som i tabell 4.1. Detta blir mycket mer ˚ask˚adligt
om vi representerar v˚ara data i ett histogram som i Figur 4.2. Histogrammet
a