Analys och presentation av fysikexperiment - Fysikum

50 KAPITEL 4. SANNOLIKHETER OCH STATISTIK
Tvärtom behöver vi ofta mäta x flera g˚anger för att f˚a en uppfattning om spridningen
mellan olika mätningar. I föreg˚aende avsnitt s˚ag vi att utifr˚an N värden
dragna fr˚an en sannolikhetsfördelning kan uppskatta dess medelvärde som det
PN
aritmetiska medelvärdet, x, och dess standardavvikelse som s =
1 (xi−bµ)2
N−1
Den typiska avvikelsen är ju just vad vi önskar ange som fel, s˚a man kanske
kan tycka att vi borde skriva resultatet av v˚ar mätning som x ± s. Men s är
den typiska avvikelsen av ett mätvärde fr˚an det sanna värdet µ. När vi bildar
medelvärdet av N mätningar f˚ar vi n˚agot som har en mindre standardavvikelse
(i gränsen N → ∞ gäller ju att x → µ). Vi m˚aste P allts˚a ta fram standar-
xi
davvikelsen för den stokastiska variabeln x = N , vilket är lätt gjort med
ekvation 4.21. Medelvärdet x är ju en funktion av de N värdena xi, all dragna
ur samma förelning, och ∂x
∂xi = 1 N , s˚a
σx =
1
N σx
2
= N
i
1
N σx
2 eftersom alla termerna i summan är identiska. Vi f˚ar allts˚a att
σx = σx
√N . (4.23)
Detta är en mycket viktig formel. Den beskriver hur vi kan minska spridningen
runt medelvärdet (felet) genom att göra flera mätningar. Faktorn √ N som
beskriver hur v˚ar osäkerhet minskar förekommer alltid när man samlar in data
för att bestämma n˚agonting. Om vi vill minska den statistiska osäkerheten till
en tiondel, t.ex., m˚aste vi allts˚a göra 100 g˚anger s˚a m˚anga mätningar.
Om vi upprepar en mätning flera g˚anger och bildar medelvärdet f˚ar vi allts˚a
en mindre statistisk osäkerhet, vilket är bra. Dessutom kan vi bestämma den
statistiska osäkerheten, vilket är ännu bättre. För att göra detta uppskattar vi
standardavvikelsen enligt ekvation 4.10. I praktiken kan vi kalla v˚ar uppskattning
för σx istället för s. Ibland är vi intresserade av spridningen σx för de
enskilda mätningarna, men för att ta fram ett fel i v˚ar bestämning av det sanna
värdet (fördelningens medelvärde) dividerar vi med √ N.
4.5 Att kombinera mätresultat
Antag att vi mäter flera g˚anger för att bestämma medelvärdet av en fördelning.
För att vara lite konkreta kan vi tänka oss att vi mäter tyngdaccelerationen g.
Vi mäter fyra g˚anger, f˚ar värdena ga,i,i = 1,4, beräknar medelvärdet som vi
kan kalla ga, och uppskattar medelvärdets standardavvikelse som σa = s
√ 4 , där
s enligt ekvation 4.10 är v˚ar uppskattning av standardavvikelsen σ i en enskild
mätning. V˚art resultat för tyngdaccelerationen blir d˚a
g = ga ± σa .
Egendomligt nog visar det sig att n˚agon annan r˚akar ha gjort exakt samma typ
av mätningar med samma apparatur. Denne person är dock en riktig streber
och har gjort 16 mätningar, gb,j,j = 1,16. Hans resultat är
g = gb ± σb .
.