Analys och presentation av fysikexperiment - Fysikum

Analys och presentation av 

fysikexperiment 

K.Hultqvist, 9/3 2008

Inneh˚allsförteckning 

1 Inledning 7 

2 Att skriva fysik 9 

2.1 Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.2 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.3 Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.4 Storheter och enheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.4.1 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.4.2 Mätetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.4.3 Beräkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.4.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.5 Ekvationer och formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.5.1 Stil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

2.5.2 Storheter och enheter i formler . . . . . . . . . . . . . . . 16 

2.5.3 Variabelnamn, multiplikation och datorspr˚ak . . . . . . . 17 

2.6 Figurer och tabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.7 Fel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2.8 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

3 Mätningar och fel 25 

3.1 Felfortplantning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

3.2 Felfortplantningsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3.3 Relativa fel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.4 Systematiska och statistiska fel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

4 Sannolikheter och statistik 37 

4.1 Sannolikhetsfördelningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

4.2 Medelvärde och standardavvikelse . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

4.3 N˚agra sannolikhetsfördelningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

4.4 Statistisk feluppskattning och felpropagering . . . . . . . . . . . 46 

4.5 Att kombinera mätresultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

4.6 Normalfördelningen och centrala gränsvärdessatsen . . . . . . . . 53 

5 Att uppskatta fel 57 

3

4 

6 Parameteranpassningar 59 

6.1 Maximum Likelihood-principen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

6.2 Minsta kvadratmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

6.2.1 Funktionsanpassningar med minsta kvadratmetoden . . . 65 

6.2.2 Residualer och pulls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

6.2.3 Ekvivalenta fel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

6.2.4 Oviktade minsta kvadratanpassningar . . . . . . . . . . . 73 

7 Histogram och poissonfördelade variabler 75 

7.1 Multinomial- och poissonfördelningarna . . . . . . . . . . . . . . 75 

7.2 Histogram med felstaplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

8 Kovarians och korrelation 83 

9 Konfidensintervall och Hypotestest 89 

9.1 Hypotestest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

9.2 Korrelationstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 

9.3 Chikvadrattest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Förord 

Grundidén för kursen i experimentella metoder vid Fysikum är att ge övning 

i att planera och genomföra mätningar och analysera dem för att bestämma 

fysikaliska storheter, samt att presentera resultaten. Den best˚ar därför till största 

delen av laborationer, analys av insamlade data och arbete med redovisningar 

(skriftliga eller muntliga). 

Föreläsningarna är tänkta som ett stöd för den experimentella delen och 

skall ge den kunskap och först˚aelse som krävs för att genomföra beräkningar och 

redovisa resultaten kor-rekt. Detta innefattar en diskussion av grundläggande 

statistik med inom fysiken vanliga tillämpningar. Dessutom ges en bakgrund 

om fysiken som experimentell vetenskap. 

Detta kompendium utgör en grund för föreläsningarna v˚arterminen 2010, 

framför allt vad gäller felkalkyl och statistiska metoder. 

5

Kapitel 1 

Inledning 

Fysiken är den mest grundläggande naturvetenskapen, och den har ofta f˚att st˚a 

modell för vad vetenskap är. När sanningsanspr˚ak inom samhällsvetenskap eller 

humaniora diskuteras sägs ofta att ”det här är inte fysik”. Med detta menar man 

att man inte kan förvänta sig s˚a tydliga och exakta samband som inom fysiken. 

Att fysiken räknas som en exakt vetenskap beror p˚a att naturen mirakulöst nog 

visat sig bete sig väldigt exakt i m˚anga sammanhang. 

Fysik är allts˚a en empirisk vetenskap. Med detta menas att den är baserad 

p˚a observationer av hur det faktiskt förh˚aller sig, snarare än resonemang om hur 

det borde vara. Även den mest eleganta teoribyggnad m˚aste överges (eller byggas 

om) om den leder till konsekvenser som strider mot fakta. Thomas Huxley, en 

brittisk biolog samtida med Darwin, beskrev det som ”That great tragedy of 

Science – the slaying of a beautiful hypothesis by an ugly fact”. Det är n˚agot 

av ett mysterium att man inom fysiken lyckats beskriva s˚a m˚anga ”fula” fakta 

om naturen p˚a ett s˚a enhetligt och elegant sätt. 

MyckEt av det som idag studeras inom fysiken var under den större delen 

av v˚ar historia s˚adant som hörde till filosofins eller religionens domäner. 

P˚ast˚aenden om världen baserades p˚a myter, religiösa berättelser, eller metafysiska 

resonemang. När flera av dessa p˚ast˚aenden visade sig vara felaktiga blev 

det uppenbart att det var en god idé att göra mätningar och använda resultaten 

för att beskriva världen. Detta kan tyckas självklart, men man skall komma ih˚ag 

att de mätmetoder som fanns inte var särskilt noggranna. Nya rön gav bättre 

mätinstrument, vilka i sin tur ledde till nya upptäckter. 

Denna ”vetenskapliga revolution” började runt ˚ar 1600 med Copernicus och 

Galileo och har fullständigt förändrat v˚ar syn p˚a världen och universum. Framstegen 

inom naturvetenskapen sedan antiken är otvetydiga och närmast obegripligt 

stora. Detta gäller inte m˚anga, om ens n˚agra, andra aspekter p˚a v˚art 

liv här p˚a jorden. 

L˚at oss för ett ögonblick ta ett steg tillbaka och ställa den största av alla 

fr˚agor: ”Vad finns?” Det är en filosofisk (ontologisk) fr˚aga. Descartes skrev ”Jag 

tänker, allts˚a är jag”. Jag är säker p˚a att jag tänker och förnimmer saker. Sinnesintrycken 

finns där även om vi inte kan säga med absolut säkerhet vad som 

ger upphov till dem. Fr˚agan om vad som existerar bortom det enskilda medvetandet 

är omöjlig att besvara, annat än möjligen genom mystiska upplevelser 

(som m˚aste vara självupplevda). De flesta funderar inte s˚a mycket p˚a detta 

utan antar helt enkelt att det finns en objektiv verklighet och att vi kan vinna 

7

8 KAPITEL 1. INLEDNING 

kunskap om den genom att observera den. 

Detta är det enda antagande som fungerar i det dagliga livet, och det leder 

ocks˚a direkt till den empiriska vetenskapen: Vi observerar verkligheten och 

beskriver v˚ara observationer p˚a ett s˚a enkelt sätt som möjligt. Den ”naturvetenskapliga 

metoden” är mycket naturlig! 

Skillnaden mellan den naturvetenskapliga metoden och v˚art sätt att hantera 

fakta om världen i v˚art dagliga liv ligger framför allt i att vetenskap är en kollektiv 

verksamhet. Det gäller att samla in data och beskriva dem s˚a att andra kan 

först˚a exakt vad de beskriver, ocks˚a l˚angt efter˚at. Det gäller att förfina andras 

instrument och mäta saker som intresserar andra. Det gäller att formulera sina 

hypoteser s˚a att de kan testas av andra. Dessutom är experiment inom fysiken 

numera oftast stora projekt med m˚anga deltagande fysiker (ibland flera tusen). 

I korthet ser den naturvetenskapliga metoden ut s˚a här: 

1: Nya experimentella observationer görs. Resultaten kan inte förklaras av 

existerande modeller eller teorier. 

2: Nya teorier läggs fram. De m˚aste stämma överens med alla data, inte bara 

de nya. 

3: Fenomen och samband som dyker upp i teorierna identifieras. 

4: Experiment designas och genomförs för att avgöra om förutsägelserna 

stämmer. 

5: De teorier som ger felaktiga förutsägelser förkastas. D˚a ingen ˚aterst˚ar är 

vi tillbaka vid punkt 1. Om n˚agon teori överlever f˚ar vi g˚a tillbaka till 3 

eller 4. 

Lägg märke till att vi aldrig kommer att n˚a fram till en slutgiltig teori s˚a länge 

vi följer detta schema. 

En teori som inte ger n˚agra förutsägelser som kan testas kan aldrig förkastas. 

Ett viktigt kriterium, som uppställdes av Karl Popper, är därför att teorin skall 

vara falsifierbar, ˚atminstone i princip. Det räcker inte med att man listar alla 

mätresultat eller kommer med p˚ast˚aenden om skeenden som inte p˚averkar vad 

vi kan observera. ˚A andra sidan är det inte alltid klart om en teori kommer att 

kunna testas inom rimlig tid, eller om den kommer att kunna utvecklas till en 

testbar teori. I allmänhet är dock en teori som kan ges en kompakt formulering 

byggd p˚a enkla principer mer kraftfull när det gäller att göra nya förutsägelser 

än en med m˚anga parametrar som kan ges olika värden. 

I praktiken är processen inte heller s˚a välordnad som ovanst˚aende schema 

kan ge intryck av. Det kan ta l˚ang tid att utföra beräkningar och först˚a konsekvenserna 

för vissa teorier, och att experiment är under uppbyggnad hindrar 

först˚as inte utvecklingen av nya teorier. Teoribygget kan ocks˚a ske p˚a olika plan, 

där fenomenologiska modeller med m˚anga parametrar kan f˚as att beskriva en 

del data mycket väl medan teorier byggda p˚a fundamentala antaganden ännu 

inte gör det. 

Ämnet här är emellertid inte teori utan experiment. Detta kompendium 

beskriver hur man analyserar mätdata och presenterar dem i en skriftlig rapport. 

Kapitel 2 behandlar rapportskrivning, medan de följande kapitlen beskriver 

databehandlingen.

Kapitel 2 

Att skriva fysik 

2.1 Inledning 

Observationer och experiment är en av tv˚a grundpelare inom fysiken. Den andra 

är logisk-matematiska resonemang. Genom s˚adana resonemang har man lyckats 

knyta ihop företeelser som i förstone framst˚att som helt orelaterade (som Newtons 

äpple och planetrörelsen eller magnetism och elektricitet). Det har ocks˚a 

visat sig att den matematiska formuleringen ofta ger en mycket exakt beskrivning 

av vad som kommer att hända i olika situationer. Kan man förutsäga vad 

som kommer att ske när ett nytt försök görs första g˚angen är det ett mycket 

starkt argument för att teorin har ˚atminstone ett visst m˚att av sanning. De 

delar av modern fysik som kan kallas ”etablerade” har st˚att pall för en stor 

mängd s˚adana prov och representerar en imponerande mängd ”sann kunskap” 

om naturen. 

För att kommunicera sina resultat, vare sig det gäller teoretiska resonemang 

eller resultatet av en mätning, m˚aste man använda sig av ett spr˚ak. Fysikens 

spr˚ak är en kombination av ”vanligt” spr˚ak och matematiska uttryck och diagram. 

Matematisk statistik och sannolikhetslära spelar ocks˚a en central roll. 

Spr˚aket är oftast lite mindre formellt än matematikens, men betydligt mer 

formellt än vardaglig svenska (eller engelska, vilket är vanligare). Att skriva 

formellt korrekt är nödvändigt. Vill man kommunicera en exakt tanke m˚aste 

man ha ett exakt spr˚ak. Kan man inte uttrycka det man vill säga exakt, har 

man oftast inte först˚att vad det är man vill säga. 

Samtidigt är det inte säkert att läsaren först˚ar vad idéer och tankar säger 

om verkligheten, bara för att de uttrycks med ett precist och minimalt matematiskt 

spr˚ak. Exempel, paralleller och diskussioner är bra för att hjälpa läsaren 

först˚a, men man bör först˚as klargöra hur de är relaterade till det grundläggande 

resonemanget. 

Det finns ett antal konventioner för hur man skriver matematiska uttryck, 

och hur man strukturerar en framställning. Ocks˚a dessa kan i en vidare mening 

sägas vara en del av fysikens spr˚ak. Vissa av dem är mer allmänt utbredda än 

andra, och vissa förekommer i flera varianter. 

Syftet med en skriven framställning är först˚as alltid att kommunicera n˚agot. 

Man kan välja att medvetet bryta mot en spr˚aklig regel för att ˚astadkomma en 

viss effekt. James Joyce skrev ett helt kapitel i ”Ulysses” utan skiljetecken, och 

9

10 KAPITEL 2. ATT SKRIVA FYSIK 

Heidenstams ”jag längtar stenarna där barn jag lekt” är grammatiskt nonsens. 

Ocks˚a när det gäller att skriva fysik kan man välja att bryta mot regler om 

det p˚a ett effektivare sätt kommunicerar det man vill ha sagt. Man behöver 

inte nödvändigtvis vara p˚a en niv˚a motsvarande Joyce eller Heidenstam för att 

till˚ata sig att bryta mot en eller annan regel när man skriver fysik, men man 

bör vara medveten om att man är okonventionell. Anledningen bör i första hand 

vara att underlätta för läsaren, men ibland kan det ocks˚a vara besvärligt och 

tidskrävande att f˚a de program man använder att ˚astadkomma precis det man 

vill (det kan man i s˚a fall inte veta förrän man har försökt). Ju mer man skriver 

desto viktigare blir det naturligtvis att det skrivna är lättolkat. 

För den som övar p˚a att skriva fysik är det en god idé att i möjligaste m˚an 

försöka följa de regler och konventioner som finns, och som är avsedda att ge en 

s˚a tydlig kommunikation som möjligt. 

De följande avsnitten ger en sammanfattning av regler och konventioner 

för hur man skriver fysik. Avsnitt 2.2 ger n˚agra allmänna riktlinjer för hur 

man disponerar en rapport, avsnitt 2.3 beskriver hur man hanterar den logiska 

strukturen i ett resonemang. Storheter och enheter diskuteras i avsnitt 2.4 och 

ekvationer och formler i avsnitt 2.5. Tabeller och figurer diskuteras i avsnitt 2.6. 

Avsnitt 2.7, slutligen, gäller presentation av mätosäkerheter. 

2.2 Disposition 

I en skriflig rapport är det vanligt att man har ett försättsblad med titel och 

författare och n˚agon information om vilken typ av rapport det rör sig om. Dessutom 

brukar försättsbladet inneh˚alla ett abstract som ger en mycket kortfattad 

beskrivning av inneh˚allet. Är rapporten omfattande kan det vara lämpligt att 

inleda med en inneh˚allsförteckning. I annat fall är det änd˚a ofta lämpligt att 

nämna vad de olika avsnitten inneh˚aller i slutet av inledningen. 

Om man skriver en rapport bör man först göra klart för sig hur man vill 

disponera den. Ju mer material som presenteras desto viktigare blir dispositionen. 

För att hjälpa läsaren att hitta är det lämpligt att använda numrerade 

avsnitt. Det kan ocks˚a vara lämpligt att införa numrerade underrubriker (som 

t.ex. avsnitt 2.4.1). Det är viktigt att alla rubriker som är p˚a samma niv˚a är 

utformade p˚a samma sätt. Annars blir strukturen inte tydlig för läsaren. 

Hur man delar upp materialet i avsnitt beror först˚as p˚a vad man beskriver, 

men det är naturligt att börja med en inledning som ger lite bakgrund och 

förklarar varför rapporten skrivits och vad den behandlar. Man bör ocks˚a nämna 

de grundläggande principerna och förbereda läsaren för vad som komma skall. 

Det kan t.ex. finnas anledning att berätta om n˚agot utelämnats s˚a att läsaren 

inte letar förgäves efter det. 

Gäller det en presentation av ett experimentellt arbete är det naturligt att 

först beskriva teorin som ligger bakom, sedan diskutera den apparatur som 

används, mätningarnas utförande, analysen av data, och tolkningen av resultaten. 

Hur dessa olika moment grupperas i avsnitt eller underavsnitt beror p˚a 

rapportens omfattning och är delvis en smaksak. Huvudprincipen är att underlätta 

för läsaren att hitta i rapporten. 

För en vetenskaplig rapport (men inte nödvändigtvis för laborationsrapporter) 

är det viktigt att citera andra arbeten s˚a att läsaren kan g˚a tillbaka och 

först˚a bakgrunden. Det kan gälla allmänna diskussioner, antaganden, metoder,

2.3. LOGIK 11 

eller värden som använts. I den löpande texten anger man d˚a hänvisningar till 

referenslistan, som placeras sist i rapporten. 

2.3 Logik 

Ett grundkrav är att resonemanget är logiskt sammanhängande. Alla p˚ast˚aenden, 

som inte är uppenbart sanna, bör motiveras genom att man refererar till kända 

fakta, andra arbeten, eller egna observationer. De kan ocks˚a motiveras indirekt 

genom slutledningar baserade p˚a fakta. 

Vad menar man d˚a med ett p˚ast˚aende? Det kan först˚as vara en s˚adan sak 

som att man säger att experimentet utfördes p˚a en viss plats, eller att man 

använde ett st˚alm˚attband för mätningen. Gäller det platsen, och den valts p˚a 

särskilt sätt för att vara lämplig, är det bra att tala om hur och varför. Är 

platsen helt betydelselös is sammanhanget behöver man inte nämna den alls. 

Men ett p˚ast˚aende kan ocks˚a vara ett uttryck av typen ”x = a − b”. I detta 

fall är det likhetstecknet som gör att det rör sig om en utsaga. Vi p˚ast˚ar att ”x 

är lika med a − b”. Vi kan skriva om v˚art uttryck som b = a − x, vilket betyder 

att vi gör ett nytt p˚ast˚aende som logisk-matematiskt följer av det första. Denna 

enkla slutledning kan vi skriva som 

x = a − b ⇒ b = a − x 

Symbolen ”⇒” är en implikationspil som betyder att det andra p˚ast˚aendet följer 

logiskt av det första. Raden ovan är allts˚a ett utsaga om utsagor som betyder 

”b = a − x följer logiskt av att x = a − b” eller ”om x = a − b s˚a s˚a gäller 

b = a − x”. Den säger inte att b = a − x, bara att detta gäller om x = a − b. 

När det gäller en diskussion om fysik är vi oftast intresserade av vad som följer 

av sanna p˚ast˚aenden. Vi kan säga ”x = a − b, och x = a − b ⇒ b = a − x, allts˚a 

är b = a − x”. 

Uppenbarligen gäller ocks˚a att om b = a −x s˚a är x = a −b, s˚a vi kan vända 

p˚a implikationspilen: 

x = a − b ⇐ b = a − x 

När implikationen som här g˚ar ˚at b˚ada h˚allen är den en ekvivalens: ”x = a − b 

om och endast om b = a − x”. Detta skrivs som 

x = a − b ⇔ b = a − x 

Ett förv˚anande vanligt missförst˚and verkar vara att ”⇔” eller ”⇒” betecknar 

matematisk likhet och man skriver felaktigt 

R 2 − 1 

4 ⇔ 

 

R + 1 

 

R − 

2 

1 

 

2 

eller kanske R2 − 1 

4 

1 1 

⇒ (R + 2 )(R − 2 ). Detta är fullständigt fel, för de tv˚a 

matematiska uttrycken representerar inga utsagor (p˚ast˚aenden). För att de skall 

göra det m˚aste de inneh˚alla t.ex. ett likhetstecken eller olikhetstecken. 

Implikationer och ekvivalenser är begrepp inom satslogiken som bl.a. ocks˚a 

inneh˚aller symboler för och (∧) och eller (∨), samt för negation (¬). 1 Det finns 

1 Om p och q är tv˚a p˚ast˚aenden är p ∧ q sant om och endast om b˚ade p och q är sanna.


först˚as en mängd ytterligare symboler som används i matematisk text. Tv˚a 

s˚adana symboler är ∴ (därför) och ∵ (eftersom). Den förra betecknar samma 

(”vanliga”) implikation som ”⇒” medan den senare, liksom ”⇐”, betecknar 

”bakvänd” implikation. 

Det g˚ar att undvika logiska symboler när man skriver fysik, men skall man 

använda dem skall man först˚as göra det p˚a rätt sätt! Annars förvirrar de bara. 

Och även om man kan klara sig utan logiska symboler klarar man sig inte utan 

logik! Det g˚ar inte att skriva att när x = 4ξ, y = 3 och z 2 = x 2 + y 2 f˚ar vi 

x 2 + 9 

16ξ 2 + 9 

och allts˚a z = ± 16ξ 2 + 9. De tv˚a raderna ovan är inga utsagor om n˚agonting, 

speciellt inte om z 2 . 

2.4 Storheter och enheter 

Fysiken baseras p˚a mätningar av olika storheter i den observerbara verkligheten. 

Det kan t.ex. gälla en längd, en tid eller en massa. En god först˚aelse av hur man 

behandlar storheter och enheter korrekt är ofta till stor hjälp för att först˚a 

fysiken. Utan s˚adan först˚aelse gör man lätt misstag som leder till nonsensresultat. 

”Dimensionsfel” är allvarliga. 

2.4.1 Dimension 

I det här sammanhanget är begreppet dimension bara löst kopplat till vad man 

menar när man talar om rummets tre dimensioner. Man säger att tv˚a olika 

storheter har samma dimension om man kan jämföra dem med varandra och 

säga att den ena är större än den andra. Vi kan t.ex. säga att massan hos ett 

kylsk˚ap är större än massan hos en korv. Däremot kan vi inte säga att kylsk˚apets 

massa är större än korvens längd. Dessa b˚ada storheter (massa respektive längd) 

har olika dimension. Storheter av en viss dimension är (i princip) mätbara om 

det g˚ar att göra kvantitativa jämförelser och säga hur stor en är relativt en 

annan. Kanske kylsk˚apets massa är 200 g˚anger s˚a stor som korvens, till exempel. 

Betecknar vi kylsk˚apets massa med M och korvens med Mkorv kan vi d˚a skriva 

eller 

M = 200Mkorv 

M 

Mkorv 

= 200 

Kvoten mellan tv˚a mätbara storheter av samma dimension är allts˚a ett vanligt 

(dimensionslöst) tal. 

p ∨ q är falskt om p eller q b˚ada är falska, annars sant. Negationen av p, icke-p, skrivs ¬p och 

är sann om p är falsk och falsk om p är sann. Utsagan 

(p ⇒ q) ⇔ ¬(p ∧ ¬q) 

är allts˚a sann, och kan sägas vara en definition av begreppet implikation. Inom fysiken används 

ofta ”vanligt spr˚ak” istället för dessa logiska symboler, även om de förekommer.

2.4. STORHETER OCH ENHETER 13 

2.4.2 Mätetal 

Att mäta en storhet innebär att man jämför den med en ”standardstorhet” av 

samma dimension, en enhet. Om vi t.ex. vill mäta massan hos kylsk˚apet jämför 

vi den med massan hos kilogram-prototypen i Paris. Mätetalet för kylsk˚apets 

massa är 

M(kg) = M 

Mkg 

Här är M(kg) mätetalet, M kylsk˚apets massa och Mkg massan hos kilogramprototypen. 

Men massan hos kilogram-prototypen är ju per definition ett kg, s˚a 

v˚art mätetal blir 

M(kg) = M 

kg 

Vi har allts˚a att 

t.ex. 

storhet = mätetal · enhet 

M = 87 kg 

Ett vanligt fel är att blanda ihop storheten med mätetalet, men distinktionen 

är viktig. I detta exempel är storheten M en massa som kan uttryckas i olika 

enheter, medan mätetalet beror p˚a val av enhet. Normalt arbetar man med 

storheter och använder ingen speciell symbol för mätetalet. 

Lägg märke till att mätetalet, namnet till trots, är definierat ocks˚a för 

storheter som inte mätts direkt utan beräknats fr˚an andra storheter. Om vi 

t.ex. gör ett försök att beräkna hur l˚ang tid det kommer att ta innan jordens 

oljereserver börjar sina blir resultatet kanske 10 ˚ar. Det är i s˚a fall ett kontroversiellt 

resultat och knappast en mätning. Änd˚a är ”10 ˚ar”, liksom alla andra 

tidsintervall vi kan välja att diskutera i olika sammanhang, en produkt av ett 

mätetal (10) och en enhet (˚ar). Ett mer närliggande exempel är ett tentamenstal 

av typen ”Hur stor skall massan M vara för att systemet skall befinna sig 

i jämvikt?”. Svaret, ”M = 14kg” är en produkt av mätetal och enhet. 

2.4.3 Beräkningar 

Storheter med samma dimension kan adderas och subtraheras, men det kan 

inte storheter med olika dimension. En subtraktion, t.ex. ger ju ett positivt eller 

negativt resultat beroende p˚a vilken av tv˚a storheter som är störst, och kan vi 

säga vilken som är störst har de ju samma dimension. Däremot g˚ar det förs˚as 

bra att multiplicera eller dividera storheter av olika dimension. En hastighet, 

t.ex., är ju en kvot mellan en sträcka och en tid. 

Man kan ersätta storheterna med mätetal i en beräkning s˚a länge man h˚aller 

sig till ett och samma enhetssystem. Slutresultatet blir i s˚a fall ett mätetal. Det 

m˚aste multipliceras med den enhet som i det valda systemet svarar mot dess 

dimension. Men man bör s˚a l˚angt det är praktiskt möjligt räkna med storheter 

istället för mätetal. Det hjälper läsaren att se att allting stämmer, och det kan 

vara till stor hjälp när det gäller att kontrollera utförda räkningar. Vill vi t.ex. 

behandla en svängande pendel bör vi säga att ”pendelns längd är L” och inte 

”pendelns längd är L m” och inte heller ”pendelns längd är L (m)”. 

Antag, som ett ytterligare exempel, att vi vill använda formeln s = vt för 

att bestämma hur l˚ang en vägsträcka är genom att mäta den tid t det tar en


förbipasserande bil att med farten v köra sträckan i fr˚aga. Vi bestämmer v 

genom att mäta upp den tid, ∆t, det tar för bilen att passera en kort sträcka 

∆s där vi st˚ar. Vi f˚ar d˚a 

v = ∆s 

∆t 

Om ∆s = 10m och ∆t = 0,5s blir v = 20m/s. Ersätter v med 20 kan vi skriva 

den sökta sträckan som 

s = 20 t (2.1) 

Men detta är fel! Uttrycket innebär att s och t har samma dimension, vilket 

inte är sant. Vi har utan att blinka bytt mening p˚a symbolerna, och s och t är 

nu mätetalen i v˚art valda enhetssystem, inte storheterna själva. Istället borde 

vi skriva t.ex. 

s = ∆s 

t (2.2) 

∆t 

och sedan sätta in värden p˚a alla v˚ara storheter. Om den uppmätta tiden är 

t = 45s f˚ar vi t.ex. 

s = 10 

· 45 m = 900 m 

0,5 

Ekvation 2.1 kan inte användas för att kontrollera att enheterna stämmer, men 

det kan ekvation 2.2. Om vi t.ex. hade r˚akat beräkna v felaktigt som v = ∆t 

∆s s˚a 

hade vi bara f˚att en annan siffra istället för 20 i ekvation 2.1, men i ekvation 2.2 

hade enheten för högerledet blivit s 2 /m vilket inte stämmer med vänsterledet. I 

mer komplicerade beräkningar är det ovärderligt att kunna kontrollera att resultatet 

är dimensionsmässigt korrekt. Man bör därför alltid räkna med storheter 

med dimension s˚a l˚angt det är praktiskt möjligt. 

2.4.4 Notation 

För att beteckna dimensionen av en storhet används ibland hakparentes. T.ex. 

beteckar [M] dimensionen hos kylsk˚apets massa och [g] dimensionen hos tyngdaccelerationen. 

För att beteckna dimensionen massa använder man ofta samma 

beteckning som för enheten för massa, kg, och motsvarande för andra storheter. 

Man skriver t.ex. 

[M] = kg 

[g] = ms −2 

(2.3) 

Detta är egentligen inte helt korrekt. Man borde skriva [M] = [kg] för att 

beteckna att kylsk˚apets massa M och kilogramprototypens massa kg har samma 

dimension, men notationen i ekvationerna 2.3 är den brukliga. Att t.ex. ange en 

höjd som h = 2 [m] istället för h = 2 m vore däremot fel. Det finns ingen som 

helst anledning att sätta enheten inom hakparentes när man ger värdet för en 

storhet. 

2.5 Ekvationer och formler 

Matematiken är en mycket viktig del i fysikens spr˚ak. Ekvationer och formler 

är en s˚a integrerad del av spr˚aket att de behandlas p˚a samma sätt som andra

2.5. EKVATIONER OCH FORMLER 15 

p˚ast˚aenden eller spr˚akliga beteckningar. Man skriver t.ex. ”Vi vill förenkla ut- 

trycket x2 −y 2 

x+y .”, eller ”Eftersom z = x2 + y 2 är z ≥ 0”. Observera att den 

matematiska utsagan i det senare exemplet behandlas precis som en vanlig 

spr˚aklig s˚adan, som i meningen ”Eftersom den radiostyrda rakapparaten är s˚a 

dyr är försäljningssiffrorna l˚aga.” En del spr˚akliga konstruktioner är mer vanliga 

i fysiksammanhang än i ”vanligt spr˚ak”. Vi skulle t.ex. kunna skriva ”Eftersom 

z = x 2 + y 2 gäller att z ≥ 0.”, eller ”Den tillryggalagda sträckan s = v0t + a 

2 t2 

växer kvadratiskt med tiden.” Det sista exemplet avviker faktiskt lite fr˚an van- 

ligt spr˚ak. Utsagan ”s = v0t + a 

2 t2 ” behandlas inte som en s˚adan, utan som om 

där bara stod s. Detta är ett ganska vanligt sätt att förenkla texten. 

Att rada upp en mängd formler utan att de binds samman av ett logiskt 

resonemang är inte acceptabelt. Det vore som att skriva upp ett stort antal 

lösryckta ord. Som personliga anteckningar kanske de duger, men inte om de 

är tänkta att läsas av n˚agon annan. Det är inte heller bra att uttrycka en 

l˚ang räkning som en serie av uttryck sammanbundna med likhetstecken. Som 

ett exempel kan vi beräkna logaritmen av antalet sätt, Ω, som q förem˚al kan 

placeras i N ”fack”, där b˚ade q och N är stora tal (q,N >> 1), när q >> N. Vi 

kan beräkna logaritmen som följer (det är inte själva räkningen som är intressant 

här): 

 

q + N − 1 

ln Ω(N,q) = ln = ln 

q 

(q + N − 1)! 

q!(N − 1)! 

= ln(q+N−1)!−ln q!−ln(N−1)! ≈ 

(q + N − 1)ln(q + N − 1) − q − N + 1 − q lnq + q − (N − 1)ln(N − 1) + N − 1 = 

= (q + N − 1)ln(q + N − 1) − q lnq − (N − 1)ln(N − 1) ≈ 

(q+N)ln(q+N)−q lnq −N lnN = (q+N)ln 

 

(q + N) lnq + ln 1 + N 

 

q 

 

1 + N 

q 

 

− q lnq − N lnN ≈ 

 

−q lnq −N lnN = 

q 

 

(q + N) lnq + N 

 

− q lnq − N lnN = N + N lnq + 

q 

N2 

− N lnN = 

q 

N ln q 

 

N2 

+ N + ≈ N ln 

N q q 

 

+ 1 

N 

Men detta är inte bra! Vi borde ha brutit upp resonemanget i flera steg och 

förklarat vad vi gjorde (t.ex. där vi använde Stirlings formel n! ≈ n n e −n för 

fakulteten eller taylorutvecklade logaritmfunktionen runt 1). 

Även om ekvationer och matematiska samband är en del av själva texten är 

det ofta lämpligt att skriva dem p˚a en egen rad för översk˚adlighetens skull. Att 

klämma in Sackur-Tetrodes ekvation för entropin hos en monoatomär ideal gas, 

 

V 4πmU 

S = Nk ln 

N 3Nh2 

3/2 

+ 5 

 

, 

2 

p˚a en vanlig textrad skulle bli besvärligt. Det kan ocks˚a vara s˚a att ett samband 

är speciellt viktigt, och därför bör st˚a p˚a en egen rad s˚a att det framhävs och 

är lätt att hitta igen. Vill man kunna referera till ett samband lite längre fram i 

texten är det dessutom bra att ge det ett nummer, som jag gjorde med uttrycket


för den sökta sträckan i ekvation 2.2. För att göra detta är det nödvändigt att 

skriva ekvationen p˚a en egen rad, annars blir det alldeles för sv˚art att hitta ekvationsnumret. 

Observera ocks˚a att ekvationsnumret skrivs längst ut till höger, 

och att ekvationen är en del av den löpande texten ocks˚a när den är numrerad. 

En annan sak som kan tyckas självklar, men som det händer att det slarvas 

med, är att man bara kan ha en ekvation med ett givet nummer. Annars uppst˚ar 

förvirring. 

Tanken är inte att här beskriva i detalj hur man skriver matematiska formler, 

men det finns en del konventioner som det kan vara bra att känna till. 

2.5.1 Stil 

En grundläggande regel är att en och samma symbol ska skrivas p˚a samma 

sätt överallt. Man bör inte byta mellan stor och liten bokstav, kursiverat och 

okursiverat, eller fet och normal stil. En anledning till detta, förutom att inte 

trötta läsaren i onödan, är att själva stilen utgör en del av symbolen. Detta kan 

tyckas som en f˚anig konvention, men bryter man mot den kanske läsaren undrar 

om man verkligen menar samma sak med m och m, till exempel. Dessutom 

f˚ar man p˚a detta vis tillg˚ang till flera symboler. Man kan t.ex. l˚ata u beteckna 

beloppet av vektorn u. 

Som ett exempel kan vi ta ”trigonometriska ettan”, 

cos 2 x + sin 2 x = 1 . 

Här skrivs de matematiska standardfunktionerna med rak stil, medan variabeln 

x skrivs kursiverat. Detta är den normala notationen i matematiska texter. 

Andra standardfunktioner som skrivs med rak stil är t.ex. ”exp” och ”ln”. I 

detta sammanhang kan det vara värt att p˚apeka att man normalt skriver t.ex. 

sin θ 

2 snarare än sin 

θ 2 θ 

2 och sin 2 istället för sin 

θ 2. 

2 (Är argumentet alltför 

l˚angt blir man först˚as tvungen att sätta det inom parentes.) 

Lägg märke till att enheter skrivs med rak stil, inte kursiv. Enheter är ocks˚a 

fysikaliska storheter, s˚a detta är allts˚a ett undantag fr˚an regeln att storheter 

skrivs med kursiverad stil, men ett motiverat undantag. Om vi har en storhet, 

s, som är en sträcka, och en annan, m, som är en massa kan vi t.ex. bilda 

ln s m 

s m 

m +ln kg . Skriver vi istället ln m +ln kg har vi plötsligt infört tv˚a nya storheter, 

l och n, och dessutom är s 

m inte enhetslöst, s˚a det skulle inte g˚a att bilda logaritmen 

av det. (Produkten ln m˚aste ha dimensionen kg/m för att uttrycket 

skall vara giltigt.) 

ln s 

m 

+ ln m 

kg 

2.5.2 Storheter och enheter i formler 

När det gäller fysik är de variabler som förekommer oftast fysikaliska storheter. 

De skrivs, liksom matematiska variabler i allmänhet, med kursiv stil. Men en 

fysikalisk storhet är inte bara ett tal, s˚a vi kan inte sätta in den som argument 

i en matematisk standardfunktion. Om vi t.ex. har en längdkoordinat, x, och 

bildar 

f(x) = cos x 

är det fel! Argumentet för cosinusfunktionen m˚aste vara ett dimensionslöst tal 

(observera att en vinkel är dimensionslös eftersom den definieras som kvoten

2.5. EKVATIONER OCH FORMLER 17 

mellan tv˚a sträckor). S˚a för att kunna ange x som argument för cosinusfunktionen 

m˚aste vi dividera med en längd. Om vi t.ex. skriver 

f(x) = cos 2πx 

λ , 

där λ är en sträcka, f˚ar vi en funktion som blir periodisk i x och antar samma 

värde i punkter som skiljer sig ˚at i x-led med sträckan λ. Vi skulle ocks˚a kunna 

skriva 

f(x) = cos x 

m 

dvs bilda cosinus av mätetalet för x i meter. Men detta betyder att vi valt en 

speciell periodlängd, nämligen λ = 2π m. 

Ett illustrativt och intressant exempel för den mer fundersamma läsaren är 

den i fysikaliska sammanhang mycket vanliga integralen I = x=b dx 

x=a x där x 

är en storhet med dimension, t.ex. en radie eller (den absoluta) temperaturen. 

Integralen kan beräknas enligt 

b 

I = 

a 

dx 

x 

b 

= [lnx]b a = lnb − lna = ln 

a 

Eftersom dx och x har samma dimension är dx 

x 

p˚a vilken enhet vi använder. Integralen (summan av alla dx 

x 

(2.4) 

dimensionslöst och beror inte 

) är därför ocks˚a 

dimensionslös. Ocks˚a argumentet för logaritmfunktionen i sista ledet ( b 

a ) är dimensionslöst, 

vilket är i sin ordning. Däremot är a och b inte dimensionslösa 

tal utan gränser för x, s˚a ln a resp. lnb har inga definierade värden (argumentet 

för logaritmfunktionen m˚aste ju vara dimensionslöst). S˚aledes är de tv˚a mellanleden 

i räkningen ovan strängt taget ogiltiga. Vi kan dock tänka oss att vi gör 

substitutionen x ′ = x/c där c har samma dimension som x. I s˚a fall f˚ar vi 

b 

I = 

a 

dx 

x = 

′ 

b 

a ′ 

dx ′ 

x ′ = lnb′ − lna ′ = ln b 

a 

(2.5) 

där a ′ = a/c och b ′ = b/c är dimensionslösa, s˚a att lna ′ och ln b ′ är väldefinierade. 

Betraktar vi c som en enhet är a ′ och b ′ mätetalen för a och b. Om vi byter 

enhetssystem (c) ändrar sig lna ′ och ln b ′ , men inte lnb ′ − lna ′ = ln b 

a . S˚a i 

räkningen i ekvation 2.4 har vi implicit bytt betydelse p˚a a och b s˚a att de 

i mellanleden betecknar mätetal (utan att vi för den skull blivit tvugna att 

specificera för vilket enhet mätetalen gäller). Räkningen i ekvation 2.4 är ganska 

vanlig, s˚a det kanske kan vara bra att n˚agon g˚ang ha funderat p˚a hur det 

egentligen hänger ihop med enheterna. 

2.5.3 Variabelnamn, multiplikation och datorspr˚ak 

Enheter som kännetecknas av ett enda värde, som massa eller tid, kallas skalärer. 

För storheter som inte är skalärer används speciella skrivsätt som är mer varierande. 

Ett viktigt fall är vektorer, storheter med storlek och riktning. De skrivs 

ofta med fetstil. Om t.ex. u och v är tv˚a vektorer ges skalärprodukten (en skalär!) 

av u · v = |u||v|cos θ, där |u| och |v| är vektorernas storlekar (belopp) och θ är 

vinkeln mellan dem. Vi kan ocks˚a bilda den s˚a kallade vektorprodukten, u × v, 

s˚a det är viktigt att sätta ut rätt sorts g˚angertecken när man multiplicerar 

vektorer.


När man multiplicerar med ett tal (en skalär) däremot sätter man normalt 

inte ut n˚agot g˚angertecken. Om det verkligen behövs för läsbarheten skriver 

man ”·” eller möjligen ”×”, men definitivt inte ”∗”, trots att detta används 

för att beteckna multiplikation när man programmerar. Man skall i allmänhet 

undvika att överhuvudtaget blanda in programmeringsspr˚ak eller programmeringstekniker 

när man skriver om fysik. Ett annat exempel p˚a detta är valet av 

variabelnamn. När man programmerar är det ofta lämpligt att använda l˚anga 

textsträngar som namn p˚a storheter, t.ex. TFall för en falltid. I en skriftlig 

framställning om fysik är detta däremot inte bra (mer om detta nedan). Ett undantag 

fr˚an regeln att inte blanda in programmeringsspr˚ak är först˚as när man 

ska dokumentera hur datorkod man skrivit skall användas av andra. 

Det kan vara värt att p˚apeka att man m˚aste definiera de beteckningar man 

inför för olika storheter. Det är egentligen ganska självklart, men ibland kanske 

man tycker att man använder en s˚a självklar beteckning att man inte behöver 

definiera den. Vad som är självklart är dock i högsta grad subjektivt, och man 

bör därför alltid se till att uttryckligen tala om vilka storheter de olika beteckningarna 

st˚ar för. 

Ibland händer det att n˚agon försöker ge storheterna namn som skall vara 

”självförklarande”, t.ex. 

Falltid = 2,3 s . 

Detta är inte bra. Dels blir ”variabelnamnen” mycket otympliga, vilket gör 

formlerna sv˚arlästa, dels skulle ”Falltid ” i princip kunna vara en produkt som 

ocks˚a kan skrivas l2diFat. Är variabelnamnet kortare, som ”xny ”, finns det 

en verklig risk att det tolkas som en produkt. Ett sätt att undvika detta vore 

att skriva variabelnamnen med upprätt stil, som för enheter och standardfunktioner, 

men bättre är att l˚ata eventuella textsträngar bli subskript (som inte är 

alltför l˚anga). Vi kan t.ex. skriva ”Falltiden var 

Tfall = 2,3 s . 

Lägg märke till att Tfall definieras som beteckningen för falltiden i föreg˚aende 

mening. Vi hade istället kunnat använda beteckningen T för falltiden genom 

att byta ut Tfall mot T. Om falltiden är den mest centrala tiden i problemet 

och ing˚ar i m˚anga formler, hade nog T varit bättre. Är framställningen korrekt 

skall det g˚a att byta ut en variabelbeteckning mot en annan överallt utan 

det blir obegripligt (under förutsättning att det nya namnet inte är upptaget). 

Men det underlättar naturligtivs för läsaren om man använder konventionella 

beteckningar som p för rörelsemängd, x,y,z för rymdkoordinater, T eller t för 

tid etc. När s˚a behövs lägger man sedan till subskripttext för att skilja olika 

storheter av samma dimension ˚at. 

2.6 Figurer och tabeller 

Figurer och tabeller är nästan alltid viktiga inslag i en beskrivning av fysikaliska 

data och resonemang. Till skillnad fr˚an ekvationer och formler är figurer och 

tabeller inte en del av den löpande texten. De inneh˚aller oftast för mycket information 

(mer än tusen ord) vilket gör det nödvändigt att diskutera dem i flera 

meningar. De kan dessutom vara stora, vilket gör att det kan vara sv˚art att f˚a 

plats med dem just vid det ställe i den texten där de behandlas.

2.6. FIGURER OCH TABELLER 19 

Det är den löpande texten som bär upp en skriftlig presentation. Läser men 

den fr˚an början till slut skall man inte missa n˚agot. Därför m˚aste alla figurer 

och tabeller refereras till fr˚an texten. Är det en mycket kort framställning 

kanske det räcker med att skriva t.ex. ”...som figuren nedan visar...”, men i 

allmänhet bör man numrera figurer och tabeller och referera till dem med nummer. 

Numret anges först˚as intill figur- eller tabelltexten, eventuellt med fetstil, 

som t.ex. ”Figur 8”. Sedan refererar man till figuren fr˚an den löpande texten 

som ”Figur 8”, gärna med stor bokstav. För att de skall bli lättare att hitta bör 

figurer och tabeller komma i nummerordning, och även refereras i den ordningen. 

Figur 2.1, som beskriver fritt fall fr˚an ett hopptorn ned till vattnet i en 

bassäng, kan tjäna som exempel. Innan man börjar diskutera figuren refererar 

man till den med nummer (som i föreg˚aende mening). Sedan beskriver man 

vad figuren visar och vad den skall illustrera. För att undvika missförst˚and, 

och för att det skall vara möjligt att titta p˚a figuren och f˚a en uppfattning om 

vad den inneh˚aller utan att man läst motsvarande avsnitt i den löpande texten 

bör figuren ˚atföljas av en förklarande text (i detta fall ”Höjden h ...”). Det är 

ocks˚a viktigt med tydliga axelbeteckningar. Man m˚aste ange vilken storhet som 

plottas och i vilken enhet. I detta exempel är t.ex. h en höjd, och figuren visar 

mätetalet för h i meter, dvs h/m. Ett vanligare, men mindre tydligt, skrivsätt 

är ”h (m)”. Ibland ser man ocks˚a ”h [m]”, vilket inte är s˚a lyckat. 

För figurer av olika slag används ibland olika beteckningar som ”diagram” 

eller ”bild”. När det gäller skriven fysik är det normalt bäst att kalla alla s˚adana 

visuella beskrivningar för ”figurer”, det gör det lättare att orientera sig ibland 

dem när de alla numreras med samma nummerserie. 

Tabeller behandlas p˚a samma sätt som figurer. De numreras (med en annan 

nummerserie än för figurer) och refereras till fr˚an texten. De skall ocks˚a förses 

med en sammanfattande tabelltext, som oftast (som här) skrivs ovanför tabellen. 

Poängen med tabeller är att man kan sammanfatta mycket information p˚a ett 

tydligt sätt. Att presentera ett eller ett par värden i tabellform är knappast 

motiverat. Har man flera uppsättningar värden är det oftast mer översk˚adligt 

att presentera dem i en tabell än att göra flera sm˚a tabeller. 

Som exempel l˚atsas vi att vi genomfört ett fallförsök där vi släppt tre olika 

stora klot av olika material fr˚an olika fönster i höghusen vid Sergels Torg och 

mätt falltiden. Resultatet av mätningarna presenteras i tabell 2.1. De tre olika 

kloten betecknas med A, B och C. Tabellen ger klotens egenskaper, liksom 

falltiderna fr˚an olika höjder. Den sista kolumnen är det värde p˚a tyngdaccelerationen 

g som kan beräknas utifr˚an formeln g = 2h 

t2 (som gäller om luftmost˚andet 

kan försummas). Siffrorna i tabellen är ofta (som här) mätetal för olika storheter. 

Man m˚aste d˚a i tabellhuvudet ange vilka storheterna är och vilka enheter som 

använts. Vi hade först˚as ocks˚a kunnat införa beteckningen M för klotets massa 

och skriva ”M/kg” istället för ”Massa (kg)” i tabellhuvudet. 

I tabell 2.1 har vi valt att inkludera klotens diameter och massa. Men eftersom 

vi bestämt diametern och massan för vart och ett av kloten en g˚ang vore 

det förvirrande att ange dem för alla fallförsök. Det skulle ge ett intryck av att 

vi har flera mätningar än vi faktiskt har. Om vi bara haft ett klot hade det 

varit direkt olämpligt att inkludera diameter, massa eller klotets beteckning i 

tabellen överhuvudtaget. Värden p˚a storheter som inte varierar är det bättre 

att ge i tabelltexten, eller i den löpande texten.


h /m 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 

t /s 

Figur 2.1: Höjden h över bassängens yta som funktion av tiden t fr˚an att 

en person tagit ett steg rakt fram fr˚an sjumeterstornet. Luftmotst˚andet och 

personens längd har försummats. 

Tabell 2.1: Resultat av ett fallförsök med tre olika stora klot av olika material 

(se texten). 

Klot Diameter (cm) Massa (kg) Höjd (m) Falltid (s) g (ms −2 ) 

A 8,0 1,1 5,0 1,012 9,76 

B 15 12,0 5,0 1,009 9,83 

C 5,0 0,3 5,0 1,015 9,71 

A 25,0 2,262 9,77 

B 25,0 2,260 9,79 

C 25,0 2,265 9,75 

A 60,0 3,530 9,63 

B 60,0 3,510 9,74 

C 60,0 3,555 9,50 

2.7 Fel 

Det g˚ar inte att mäta n˚agonting med oändlig precision, utan alla mätningar 

av fysikaliska storheter är behäftade med en osäkerhet, ett mätfel. Att ange 

ett värde utan att säga n˚agot om felet i det är därför egentligen meningslöst. 

Skriver n˚agon t.ex. att tyngdaccelerationen g = 9,81 m/s 2 utan att ange n˚agot 

fel kan det sanna värdet p˚a g vara vilket som helst. Men riktigt s˚a illa är det 

änd˚a inte! Den som anger g med tre siffrors noggrannhet m˚aste rimligen mena 

att felet inte är s˚a mycket större än en enhet i tredje siffran, annars skull det ju 

inte finnas n˚agon anledning att specificera den!

2.7. FEL 21 

När man anger ett värde m˚aste man alltid ha detta i ˚atanke. Ger man 

m˚anga värdesiffror betyder det att man hävdar att värdet är känt med stor 

precision. Tänker man sig inte för, utan skriver upp alla siffror som datorn eller 

miniräknaren levererar, kan man göra de mest häpnadsväckande (och löjliga) 

anspr˚ak p˚a mätkvalitet 2 . S˚a om n˚agon ger oss värdet g = 9,81 m/s 2 är den 

rimligaste tolkningen att felet, ∆g är en halv enhet i sista siffran, dvs ∆g = 

0,005 m/s 2 . 

Att använda en halv enhet i sista siffran är dock en mycket grov metod. Den 

duger bra om det rör sig om ett värde som är känt med s˚a god precision att 

vi inte behöver bekymra oss om felet i det eftersom felen i andra storheter är 

s˚a mycket större. Ett exempel är när man använder litteraturvärdet p˚a n˚agon 

naturkonstant. Presenterar man värdet av en egen mätning m˚aste man däremot 

alltid uttryckligen ange felet. Normalt anger man felet och värdet för en storhet 

x som x ± ∆x, t.ex. 

h = (7,03 ± 0,07)m . 

Lägg märke till att signifikansen hos den sista siffran m˚aste vara densamma i 

värdet som i felet. Att ge extra siffror i värdet är inte meningsfullt eftersom 

det inte är känt med tillräcklig precision, och extra siffror i felet är ointressanta 

eftersom de inte ger n˚agon ytterligare information om det faktiska värdet. Som 

tumregel kan man säga att det sällan är meningsfullt med mer än tv˚a signifikanta 

siffror i felet. 

Att bestämma korrekta fel kan ofta vara ganska besvärligt, men för den 

skull ska man inte helt fokusera p˚a själva felen. Det är t.ex. inte lämpligt att 

sammanfatta alla värden i en tabell och alla fel i en annan. Man skall alltid s˚a 

l˚angt möjligt se till att ange felet tillsammans med värdet eftersom b˚ada tv˚a 

tillsammans utgör slutresultatet. Tabell 2.2 visar hur tabellen över fallförsöket 

skulle kunna se ut med mätfel inkluderade. 

Tabell 2.2: Resultat, inklusive mätfel, av ett fallförsök med tre olika stora klot 

av olika material (se texten). 

Klot Diameter (cm) Massa (kg) Höjd (m) Falltid (s) g (ms −2 ) 

(±0,05kg) (±0,2 m) (±0,0005s) 

A 8,0 ± 0,5 1,1 5,0 1,012 9,76 ± 0,39 

B 15 ± 1 12,0 5,0 1,009 9,83 ± 0,39 

C 5,0 ± 0,5 0,3 5,0 1,015 9,71 ± 0,39 

A 25,0 2,262 9,77 ± 0,08 

B 25,0 2,260 9,79 ± 0,08 

C 25,0 2,265 9,75 ± 0,08 

A 60,0 3,530 9,63 ± 0,03 

B 60,0 3,510 9,74 ± 0,03 

C 60,0 3,555 9,50 ± 0,03 

Här är det acceptabelt (men inte nödvändigt) att vara lite frikostig med 

2 Däremot är det vare sig nödvändigt eller lämpligt att avrunda mellanresultat som inte 

presenteras, speciellt inte om beräkningarna utförs p˚a dator. S˚adana avrundningar kan ge 

onödiga bidrag till felet i slutresultatet. När det gäller laborationsrapporter, t.ex., kan det 

ocks˚a vara bra att beh˚alla lite fler värdesiffror än normalt eftersom det gör det lättare för 

läraren att kontrollera räkningarna. Slutresultatet bör dock ges med korrekt precision.


antalet värdesiffror för de första g-bestämningarna s˚a att alla värden i en kolumn 

skrivs med lika m˚anga siffor. 

Som ett sista sammanfattande exempel kan vi tänka oss att vi släpper upp en 

väderballong som vi utrustat med en barometer som mäter lufttrycket. Genom 

att samtidigt bestämma riktningen mot ballongen fr˚an tv˚a olika platser p˚a 

marken kan vi bestämma dess flyghöjd. P˚a s˚a sätt f˚ar vi en mätserie över trycket 

p som en funktion av höjden över havet, h. Den kan vi presentera som i tabell 

2.3. 

Tabell 2.3: Mätserie över lufttrycket p för olika höjder h i atmosfären. 

h/km p/(10 5 Pa) log 10 (p/Pa) 

0,032 ± 0,001 1,0 ± 0,2 5,0 ± 0,2 

5,5 ± 0,8 0,51 ± 0,14 4,7 ± 0,3 

17,1 ± 1,0 0,12 ± 0,03 4,1 ± 0,3 

21,0 ± 1,2 0,06 ± 0,02 3,7 ± 0,4 

26,4 ± 1,5 0,025 ± 0,010 3,4 ± 0,4 

32,1 ± 2,0 0,009 ± 0,007 3,0 +0,3 

−0,7 

Eftersom trycket faller hastigt med höjden (och för att detta exempel skall 

bli mer intressant) anger vi ocks˚a tio-logaritmen av trycket i pascal. När felets 

storlek börjar närma sig värdet självt blir osäkerheten i logaritmen större ned˚at 

än upp˚at (noll svarar ju mot −∞). I s˚adana fall kan det vara lämpligt att ange 

asymmetriska fel, som i den sista punkten i tabellen. 

Observera att i tabell 2.3 är det höjden dividerad med kilometer som anges, 

liksom trycket i pascal dividerat med 10 5 . Ofta ser man istället uttryck som 

” p(Pa) × 10 5 ” i tabellhuvudet, vilket allts˚a är fel (med en faktor tio miljarder, 

faktiskt). 

Vi sammanfattar v˚ar ballongflygning i Figur 2.2, som visar sammanhörande 

värdena p˚a höjd och tryck med fel. Felen anges genom felstaplarna. De logaritmerade 

värdena ligger p˚a en rät linje (inom felgränserna), vilket kännetecknar 

ett exponentiellt beroende. 

Figur 2.2: Uppmätta värden p˚a logaritmen av trycket, p, som en funktion av 

höjden över havet, h, vid ballongflygningen.

2.7. FEL 23 

Ofta är felet i x-koordinaten litet, eller definitionsmässigt noll. I s˚adana fall 

anger man bara fel i y-led. Ibland händer det att man binder ihop punkterna 

med räta linjer. Det hade inte varit bra i Figur 2.2, utan är bara lämpligt när 

felen är försumbara. Man m˚aste i s˚a fall ocks˚a se till att själva mätpunkterna 

syns tydligt.


2.8 Sammanfattning 

Det finns m˚anga konventioner och regler för hur man skriver fysik, en del tycks 

närmast självklara vid lite eftertanke. Men en regel som för n˚agon är närmast 

självklar kan av n˚agon annan anses vara en ren smaksak, och även konventioner 

som man känner väl till kan man välja att bryta mot av en eller annan anledning. 

Den enda regel som är absolut är att man ska skriva för läsaren. Förhoppningen 

är att den som läst denna lilla sammanställning ska ha f˚att tillräcklig överblick 

för att kunna skriva p˚a ett sätt som gör att läsaren lätt kan först˚a och koncentrera 

sig p˚a inneh˚allet i det skrivna, utan att distraheras av allför m˚anga brott 

mot konvention, konsistens, eller logik.

Kapitel 3 

Mätningar och fel 

I det här kapitlet ska vi börja diskutera mätningar och mätfel, vilket är n˚agot 

absolut fundamentalt inom s˚aväl experimentell som teoretisk fysik. 

En mätning av en fysikalisk storhet innebär att man mer eller mindre indirekt 

jämför dess storlek med storleken av en annan storhet av samma dimension. 

Vanligast är naturligtvis att denna andra storhet är en allmänt accepterad enhet, 

t.ex. ett kilogram, en meter eller en fjärdingsväg. Resultatet av en s˚adan mätning 

blir ett värde, eller mätetal, för storheten i den valda enheten. 

Men ett mätvärde är alltid behäftat med ett mätfel, dvs det avviker fr˚an det 

sanna värdet 1 . Om vi t.ex. uppskattar ˚aldern, T p˚a en boplats fr˚an sten˚aldern 

med 14 C-metoden kanske vi f˚ar resultatet till T = 9814˚ar, fastän den verkliga 

˚aldern är T = 9754˚ar. Här använder jag hatt-symbolen ” ” för att poängtera 

att det rör sig om v˚art mätresultat för T. I det här exemplet är mätfelet δT = 

T − T = 60˚ar. Om vi vet hur stort mätfelet är kan vi helt enkelt dra ifr˚an det 

fr˚an det uppmätta värdet och p˚a s˚a sätt f˚a fram exakt det sanna värdet. Detta 

görs naturligtvis, men det finns alltid (som i detta exempel) avvikelser som man 

inte känner till. Det är dessa okända avvikelser som man vanligen kallar mätfel. 

För att ta hänsyn till dem m˚aste vi uppskatta hur stora de kan vara, dvs hur 

stor osäkerheten i v˚ar mätning är. 

Kanske vi uppskattar osäkerheten i v˚art värde T till ∆T = 50˚ar. Vi skriver 

d˚a 

T = T ± ∆T , 

dvs 

T = (9810 ± 50)˚ar (3.1) 

Detta betyder att vi uppskattar att v˚art värde (9810˚ar) kan vara sis˚adär 

50˚ar fr˚an det sanna värdet, men inte s˚a mycket mer. (Vi ˚aterkommer med 

en mer kvantitativ diskussion). Att det sanna värdet hamnar lite utanför v˚ar 

felgräns är allts˚a helt i sin ordning. 

I praktiska räkningar är det ofta inte nödvändigt att använda hatt-beteckningar 

för att poängtera att man inte känner det sanna värdet. Vi kan beteckna 

det värde vi f˚ar p˚a boplatsens ˚alder med T s˚a länge det inte finns risk för 

missförst˚and. 

1 Ett undantag är om den uppmätta storheten är ett heltal, t.ex. antalet atomer i en molekyl. 

D˚a kan resultatet bli exakt rätt, men i s˚a fall kan man inte veta med säkerhet att s˚a är fallet. 

25

26 KAPITEL 3. MÄTNINGAR OCH FEL 

Ofta säger eller skriver man ”mätfelet” eller ”felet” när man menar den 

uppskattade osäkerheten. Det beror p˚a att man i praktiken aldrig vet hur stort 

det faktiska felet i en mätning är. (Om man visste det skulle man ju kunna ange 

det sanna värdet utan fel.) Men det är viktigt att först˚a skillnaden mellan det 

egentliga mätfelet (avvikelsen fr˚an det sanna värdet) och uppskattningen av hur 

stort det kan vara. I diskussionen som följer här är distinktionen väsentlig. 

3.1 Felfortplantning 

Ofta är den storhet vi vill bestämma inte direkt mätbar, utan vi m˚aste mäta 

en eller flera storheter och sedan beräkna den vi är intresserade av, l˚at oss kalla 

den a (i praktiken använder vi först˚as den brukliga beteckningen, t.ex. g för 

tyngdaccelerationen eller G för Newtons gravitationskonstant). 

Antag allts˚a att vi bestämmer a utifr˚an mätningar av ett antal variabler 

x,y,z... Till att börja med begränsar vi oss till en variabel, x. För att se hur 

mycket osäkerheten i x p˚averkar v˚art värde för a m˚aste vi ändra p˚a x s˚a mycket 

som osäkerheten till˚ater och se hur a ändras. Även om beräkningen av a är 

ganska kr˚anglig s˚a är det mycket lätt att göra om den för ett annat värde p˚a x. 

Allt vi behöver göra är att ändra in-värdet till v˚art program 2 . 

För att uttrycka det lite mer precist kan vi kalla v˚art mätvärde p˚a x för 

x, och motsvarande beräknade värde p˚a a kallar vi a. Om v˚ar uppskattning av 

osäkerheten i mätningen är ∆x ersätter vi allts˚a x med x + ∆x, vilket ger ett 

nytt a-värde som vi kan kalla a + . Vi kan ocks˚a använda x−∆x och f˚a ett annat 

a-värde, a − . Intervallet mellan a − och a + svarar allts˚a mot osäkerheten i a. Om 

detta intervall är n˚agorlunda symmetriskt runt a kan vi säga att osäkerheten i 

a är ∆a = 1 

2 |a+ − a − | och skriva v˚art resultat för a som a = a ± ∆a 3 . 

Att bestämma vilken effekt felet (osäkerheten) i en variabel har efter att den 

använts i en beräkning kallas för felpropagering eller felfortplantning. Metoden 

för felpropagering som beskrivits ovan brukar ibland kallas för störningsräkning. 

Vi ”stör” ing˚angsvärdet för x och upprepar beräkningen för att se hur resultatet 

p˚averkas. 

Men hur blir det om a beror p˚a flera uppmätta storhete, t.ex. x,y,z? Egentligen 

borde vi variera x, y och z tillsammans för att se hur mycket a kan variera. 

Det kan ju vara s˚a att n˚agon speciell kombination av x,y,z gör att a antar 

extrema värden. Oftast kan vi emellertid behandla osäkerheterna som sm˚a och 

betrakta a som en linjär funktion av de uppmätta variablerna. Vi kan d˚a skriva 

a = as + α(x − xs) + β(y − ys) + γ(z − zs) (3.2) 

där α,β och γ är konstanter, index s betecknar ett sant värde, och a = a(x, y, z) 

är det värde p˚a a som svarar mot v˚ara uppskattningar av x, y och z. För 

diskussionen här inför vi det faktiska felet i x, 

δx = x − xs 

2 Att koda den kr˚angliga beräkningen som ett (väl dokumenterat och kommenterat) datorprogram 

gör det lätt att kontrollera vad man gjort och att variera olika saker och kontrollera 

att resultatet bär sig rimligt ˚at. 

3 Om avvikelsen fr˚an ba är mycket större˚at ena h˚allet än˚at andra bör vi ange asymmetriska 

fel för a, som t.ex. a = 3,0 +0,3 

−0,7. Vi kan först˚as ocks˚a ta hänsyn till asymmetriska fel för x i 

den här metoden om vi har anledning till det.

3.1. FELFORTPLANTNING 27 

och motsvarande för y och z. Det faktiska felet i a är 

och vi kan skriva 

δa = a − as , 

δa = αδx + βδy + γδz . (3.3) 

Felet i a är allts˚a en summa av bidrag fr˚an felen i x, y och z. Mätfelet i x 

innebär att värdet p˚a a ändras med αδx fr˚an vad det skulle ha blivit om vi 

känt till det sanna värdet xs, och motsvarande för y och z. Ändringen αδx blir 

densamma oavsett vilka felen i y och z är, och de tre bidragen adderas enligt 

ovan. Allts˚a kan vi bestämma effekten av osäkerheterna i x, y och z, var för 

sig, genom störningsräkning eller annan felpropagering. V˚ara uppskattningar av 

osäkerheterna, ∆x, ∆y och ∆z, ger oss d˚a tre feluppskattningar för a som vi 

kan kalla ∆xa, ∆ya och ∆za. Om vi känner α, β och γ kan vi direkt beräkna 

t.ex. ∆xa som 

∆xa = α∆x . 

Detta är den osäkerhet vi skulle ha f˚att i a om vi inte haft n˚agra osäkerheter 

alls i y eller z. 

Men vi vill först˚as uppskatta en osäkerhet i a, s˚a vi m˚aste p˚a n˚agot sätt 

kombinera osäkerheterna fr˚an x,y och z. Observera att här är skillnade mellan 

felen och osäkerheterna betydelsefull. Felen kombineras enligt ekvation 3.3, men 

det betyder inte att osäkerheterna gör det. För att kunna göra kombinationen 

av osäkerheter p˚a ett lämpligt sätt m˚aste vi först lite bättre definiera vad vi 

faktiskt menar med osäkerheten i en variabel, t.ex. x. 

I en del sammanhang används s˚a kallade maximala fel. Tanken är att ”felet” 

eller osäkerheten, ∆x, är s˚a väl tilltaget att det är uteslutet att det sanna 

värdet ligger utanför felgränsen. En s˚adan filosofi kanske kan vara motiverad 

inom ingenjörsvetenskap t.ex. där tanken är att det bara inte f˚ar bli fel. Om vi 

använder s˚adana maximala fel m˚aste vi beräkna osäkerheten i a enligt 

∆maxa = ∆xa + ∆ya + ∆za , (3.4) 

eftersom den maximala avvikelsen i a svarar mot att bidragen fr˚an x, y och z 

alla är maximala. Inom fysiken (och absolut inom den här kursen) använder 

man inte s˚adana maximala fel. Problemet är att det oftast är omöjligt att vara 

säker p˚a att felet verkligen är maximalt. Man m˚aste definera felet med mycket 

god marginal, och kan änd˚a inte vara helt säker. 

I vetenskapliga sammanhang strävar man därför istället efter att ange felgränser 

som är ”typiska”, dvs. motsvarar den förväntade avvikelsen fr˚an det 

sanna värdet. I detta fall är det inte rimligt att använda ekvation 3.4. Om felen 

i x, y och z är oberoende av varandra vore det nämligen otur om de skulle 

samverka och ”dra˚at samma h˚all”. Det är troligare att n˚agot värde inte avviker 

nämnvärt, eller att avvikelserna i tv˚a av variablerna motverkar varandra. S˚a det 

”typiska” felet blir mindre än i ekvation 3.4. 

Det är ofta inte möjligt att ge en precis definition av vad man menar med att 

felet är ”typiskt”. Antag t.ex. att vi vill ta reda p˚a hur mycket en häst väger. 

Vi använder ett recept som säger att vikten är 

M = kO 2 L


där O är omkretsen vid manken, L är hästens längd (fr˚an bringan till bärbensknölen) 

och k = 0,084g/cm 3 är en konstant. Vi mäter O och L med ett m˚attband (se 

Figur 3.1) och beräknar vikten till 374kg. Hur mycket fel det blir beror p˚a om vi 

har tillg˚ang till ett ordentligt m˚attband, om vi läser av ordentligt, om vi lyckas 

mäta just där det är tänkt, hur bra receptet är, och om v˚ar häst är av normala 

proportioner. Vi kan uppskatta hur stort felet kan vara, men knappast p˚ast˚a att 

det har n˚agra väl definierade matematiska eller statistiska egenskaper. Vi skulle 

Figur 3.1: M˚attagning för uppskattning av vikten hos en häst. 

kunna ta fram en bättre feluppskattning genom att g˚a igenom vad som skrivits 

om receptet och kontrollmäta med olika m˚attband och p˚a olika hästar, t.ex. en 

som nyligen vägts p˚a en veterinärstation. Det är ganska typiskt att arbetet för 

att f˚a fram en bra feluppskattning är mer krävande än själva mätningen. Hur 

som helst är det ganska ofta oundvikligt att uppskattningar av osäkerheten är 

subjektiva och inte i överensstämmelse med n˚agon exakt definition. 

S˚a hur kan vi beräkna det typiska felet i a om vi har bidrag fr˚an mätningar 

av flera storheter? För enkelhets skull betraktar vi först fallet där a beror p˚a 

tv˚a variabler, x och y. I s˚a fall förenklas ekvation 3.3 till 

δa = αδx + βδy ≡ δxa + δya 

där felet δa = a − as delats upp i tv˚a termer som beror p˚a felet i x resp. y. 

Om mätningarna av x och y är oberoende kommer δxa och δya att anta tv˚a för 

oss okända värden som är oberoende av varandra. Om vi lyckats n˚agorlunda 

med v˚ar feluppskattning skall dessa värden inte vara s˚a mycket större än v˚ara 

uppskattningar ∆xa och ∆ya som vi f˚att genom att göra felpropagering för x 

och y var för sig. Nu vill vi allts˚a kombinera ∆xa och ∆ya till en uppskattning 

av osäkerheten i a. Följande diskussion, som ”leder” till ekvation 3.6, är i högsta 

grad kvalitativ och ingen egentlig härledning. Förhoppningsvis kan den övertyga 

den kritiska läsaren om att ekvation 3.6 är rimlig att använda trots att det ofta 

är sv˚art eller omöjligt att exakt definiera de ing˚aende storheterna. 

Om δxa och δya är oberoende faller det sig naturligt att avsätta dem p˚a 

axlarna i ett rätvinkligt koordinatsystem. Figur 3.2 visar ett s˚adant diagram

3.1. FELFORTPLANTNING 29 

för det fall d˚a felet fr˚an y-mätningen är försumbart. För enkelhets skull tolkar 

vi osäkerheten som att det faktiska felbidraget fr˚an x, δxa, ligger i intervallet 

[−2∆xa,+2∆xa]. Detta är rimligt eftersom ∆xa skall vara ett ”typiskt” värde 

för felet. (Som redan nämnts är det ofta omöjligt att definiera exakt vad feluppskattningen 

innebär.) De punkter i (δxa,δya)-planet som kan förekomma ligger 

Figur 3.2: Planet (δxa,δya) för det fall d˚a felet i y är försumbart, och vi 

förutsätter att |δxa| < 2∆xa (den tjocka linjen). Det sanna värdet p˚a a, dvs 

δa = 0 f˚as p˚a en linje med lutningen −1 som g˚ar genom origo. 

Figur 3.3: Planet (δxa,δya) för det fall d˚a osäkerheterna i x och y är lika stora 

(∆ya = ∆xa). 

d˚a p˚a δxa-axeln (den feta linjen i figur 3.2). Vet vi inget mer än detta kan vi 

tycka att alla punkter p˚a den feta linjen är lika troliga. 

Om osäkerheten fr˚an y-mätningen istället är lika stor som fr˚an x-mätningen 

(∆ya = ∆xa = ∆) f˚ar vi istället situationen i Figur 3.3. De möjliga punkterna i


(δxa,δya)-planet hamnar i en kvadrat, och en fjärdededel av dem har en större 

avvikelse än |2∆|. Om vi anser att alla till˚atna δya och δxa är lika troliga, tror vi 

lika mycket p˚a alla punkter i rektangeln. I s˚a fall är det tydligt att det faktiska 

felet i a troligen (med en ”trolighet” av 75%) ligger under 2∆ Allts˚a är det 

typiska felet mindre än ∆xa+∆ya = 2∆. Tyngdpunkten i en triangel ligger vid 

en tredjedel av höjden. Tyngdpunkten av triangeln som svarar mot δa > 0 ligger 

allts˚a vid δa = 1 4 

34∆ = 3∆. Vi skulle allts˚a kunna säga att de tv˚a lika stora felen 

fr˚an x och y kombineras till ett typiskt fel i a som är ∆a = 1,33∆. När vi inför 

en osäkerhet fr˚an y som ocks˚a är ∆ betyder det allts˚a bara en ökning med 33% 

av det totala felet i a. 

Om osäkerheten i y, ∆y, inte är noll, men svarar mot en betydligt mindre 

osäkerhet i a än vad x-mätningen gör (∆ya 2(∆xa − ∆ya) förskjuts fr˚an 

2∆xa − ∆ya (tyngdpunkten utan osäkerhet i y). Förskjutningen, 1 

3 ∆ya, blir 

proportionell mot ∆ya. Det betyder emellertid inte att det typiska felet ökar 

linjärt med ∆ya. Triangeln svarar ju bara mot en liten andel av alla möjliga 

punkter, nämligen hälften av punkterna med δxa > 2∆xa − 4∆ya. Denna andel 

ökar linjärt med ∆ya (s˚a länge ∆ya är tillräckligt litet). B˚ade andelen punkter 

som bidrar till ökningen av osäkerheten och tyngdpunktens förskjutning för 

de bidragande punkter är allts˚a proportionella mot ∆ya. Det betyder att det 

typiska felet för sm˚a ∆ya ökar kvadratiskt med ∆ya. 

Figur 3.4: Det till˚atna omr˚adet i (δxa,δya)-planet när bidraget till osäkerheten 

i a fr˚an y-mätningen, ∆ya, är betydligt mindre än den fr˚an x-mätningen. 

Ovanst˚aende diskussion är bara en kvalitativ illustration. Det är inte s˚a ofta 

man kan anse alla värden lika troliga, bara de faller inom vissa gränser. Tvärtom

3.2. FELFORTPLANTNINGSFORMELN 31 

är det ofta omöjligt att ge matematiskt definierade osäkerheter. Vad vi kan lära 

av ovanst˚aende är att om en av tv˚a oberoende osäkerheter blir mindre än den 

andra kommer den ganska snart att bli försumbar eftersom bidraget till den 

totala osäkerheten g˚ar mot noll kvadratiskt snarare än linjärt. Vi kan ocks˚a lära 

att om vi har tv˚a lika stora och oberoende fel av storleken ∆ blir det totala felet 

∼ 4 

3∆. Oftast väljer man att addera oberoende osäkerheter kvadratiskt enligt 

 

∆a = (∆xa) 2 + (∆ya) 2 . (3.5) 

Detta recept stämmer med v˚ar kvalitativa diskussion. Om vi t.ex. har ∆xa = ∆ 

och ∆ya = ∆ f˚ar vi ∆a = √ 2∆, inte s˚a l˚angt fr˚an 4 

3 ∆. Om istället ∆ya = 1 

10 ∆ 

blir ∆a = 1 + (1/10) 2∆ = 1,005∆, medan ∆ya = 2 

10∆ ger ∆a = 1,02∆. Om 

vi inkluderar ett fel fr˚an en mätning av den tredje variabeln z blir receptet 

 

∆a = (∆xa) 2 + (∆ya) 2 + (∆za) 2 , (3.6) 

vilket kan generaliseras till flera variabler. 

I de fall osäkerheterna kan ges en väldefinierad matematisk/statistisk mening 

kan ekvation 3.6 ges en stringent härledning. Detta är ett viktigt specialfall som 

vi kommer att ägna en hel del tid ˚at. Att använda samma formel för osäkerhetsuppskattningar 

baserade p˚a subjektiva rimlighetsresonemang är naturligt, 

men ger naturligtvis inte matematiskt väldefinierade osäkerheter i a om osäkerheterna 

i ing˚angsvariablerna inte är väldefinierade. 

3.2 Felfortplantningsformeln 

I föreg˚aende avsnitt beskrevs hur man kan använda störningsräkning för att 

bestämma hur osäkerheten i en ing˚angsvariabel, x, ger en osäkerhet i en storhet 

a som beräknas fr˚an x. Om osäkerheten i x är ∆x beräknar vi helt enkelt a 

för värden p˚a x som skiljer sig med ∆x fr˚an det uppmätta (eller p˚a annat sätt 

bestämda) värdet p˚a x, och ser hur mycket a ändras. Detta fungerar även om 

funktionssambandet som som ger a inte är linjärt4 . 

Om felen är sm˚a kan vi använda en linjär approximation. Om a beror linjärt 

p˚a flera värden, bestämda oberoende av varandra, ger de oberoende bidrag till 

felet i a, och vi kan kombinera bidragen enligt ekvation 3.6, där t.ex. ∆xa = 

α∆x. Här är koefficienten α fr˚an ekvation 3.3 derivatan av a med avseende p˚a 

x. Den kan beräknas för de x, y och z som mätningarna gett, och är i den linjära 

approximationen konstant. Allts˚a kan vi skriva om ekvation 3.6 som 

 

 

∂a 

∆a = 

∂x ∆x 

2 

∂a 

+ 

∂y ∆y 

2 

∂a 

+ 

∂z ∆z 

2 (3.7) 

Ovanst˚aende ekvation brukar kallas för felfortplantningsformeln för oberoende 

mätningar. Den är användbar om vi har ett n˚agorlunda enkelt funktionssamband 

för a(x,y,z) och kan beräkna derivatorna. Observera dock att det ocks˚a 

g˚ar bra att beräkna ∆xa, ∆ya och ∆za med störningsräkning. Bäst är att utföra 

b˚ada beräkningarna och kontrollera att resultatet stämmer! 

4 Däremot fungerar det inte nödvändigtvis om a har lokala extrempunkter när x varierar 

inom ±∆x


Observera ocks˚a att om ing˚angsvärdena inte är oberoende fungerar formel 

3.7 inte alls. Antag t.ex. att jag hittar en guldtacka i form av ett rätblock i 

skogen och vill bestämma dess volym. Jag tar fram ett snöre och tillverkar ett 

m˚attband genom att dela upp det i skaldelar lika l˚anga som min tumme är 

bred. Sedan mäter jag med m˚attbandet bredd, längd, och höjd och bestämmer 

volymen som 

V = blh . 

Jag gissar att min tumme inte avviker mer än 20% fr˚an en tum (2,54cm), s˚a 

jag uppskattar osäkerheterna till ∆b = 0,2b, ∆l = 0,2l,∆h = 0,2h. I s˚a fall blir 

∆bV = ∂V 

∂b ∆b = (lh)(0,2b), ∆lV = ∂V 

∂l ∆l = (bh)(0,2l) och ∆hV = ∂V 

∆h = 

∂h 

(bl)(0,2h) alla lika stora. Ekvation 3.7 ger d˚a att 

∆V = 3(0,2V ) 2 = √ 3 · 0,2V = 0,34V 

Men detta innebär en underskattning av osäkerheten! Om mätvärdet för b är 

20% för litet blir ju ocks˚a värdena för l och h det eftersom de mätts med 

samma felaktiga m˚attband. Det är inte längre ”otur” om avvikelserna i de tre 

mätningarna samverkar, det är tvärtom exakt vad de kommer att göra. När vi 

gör en störningsräkning m˚aste vi öka alla tre värdena med 20%, och f˚ar att 

∆V = 1,2 3 V − V = 0,72V . 

Att direkt använda felfortplantningsformeln för oberoende variabler underskattar 

allts˚a i det här fallet felet med ungefär en faktor 2. 

Här antog jag att det enda som bidrar till felen är min tummes felaktiga 

bredd. Men det är inte heller s˚a lätt att läsa av br˚akdelar av avst˚andet mellan 

tumstrecken p˚a m˚attbandet, och olika streck kanske hamnat lite olika fel. Dessa 

fel är antagligen n˚agorlunda oberoende mellan de tre mätningarna. Antag att 

mina mätningar gav b/t = 3,5, l/t = 7,0 och h/t = 1,7 där t är min tummes 

bredd. Jag kan uppskatta felen i dessa värden till 0,2, och jag kan ocks˚a införa 

särskilda beteckningar för dem: 

bt = b/t = 3,4 ± 0,2 

lt = l/t = 7,0 ± 0,2 

ht = h/t = 1,7 ± 0,2 

Att använda bt istället för b, t.ex., har fördelen att bt, inte b, är vad som direkt 

mäts. Förutom felen i de tre mätningarna av bt, lt och ht, som är (n˚agorlunda) 

oberoende, har jag ytterligare ett oberoende fel i bredden av min tumme, t. Jag 

kan nu skriva 

V = btlthtt 3 

och eftersom felen i de fyra storheterna i högerledet nu är oberoende kan jag 

direkt använda ekvation 3.7. 

En annan variant som kan vara bra att ta till ibland är följande: Vi ignorerar 

först helt osäkerheten i tumbredden (sätter t = 2,54cm) och f˚ar t.ex. 

b = (8,64 ± 0,51)cm . 

Sedan beräknar vi en osäkerhet i V genom felfortplantning av felen i b,l och h 

enligt ekvation 3.7. Genom att variera t inom felgränserna och använda felfortplantning 

kan vi sedan uppskatta bidraget till osäkerheten i V fr˚an tumbredden.

3.3. RELATIVA FEL 33 

Detta är oberoende av felet i V fr˚an övriga källor, och kan adderas kvadratiskt 

enligt ekvation 3.6. Detta recept är framför allt användbart när man har ett 

mera komplicerat samband utan n˚agon enkel formel för slutresultatet. Speciellt 

om man kombinerar värden med olika stora osäkerheter vill man inte inkludera 

n˚agon global osäkerhet innan man genomfört kombinationen (se avsnitt 4.5). 

3.3 Relativa fel 

Om felet i en storhet a är δa är det relativa felet δa 

a . Ofta menar man med 

”relativa felet” egentligen den relativa osäkerheten 

∆a 

a 

Detta är en dimensionslös storhet (till skillnad fr˚an ∆a som har samma dimension 

som a). Relativa fel kan ofta användas för att förenkla felpropageringen i 

ekvation 3.7. Om vi t.ex. har att 

blir ∂a 

∂x = yz = a/x, s˚a att 

. 

a = xyz 

∂a 

∆x = a∆x 

∂x x 

och motsvarande för y och z. Ekvation 3.7 ger nu att 

∆a 

a = 

 

∆x 2 2 2 ∆y ∆z 

+ + 

x y z 

dvs. relativa felet i a kan vi f˚a genom att addera de relativa felen i x,y och z 

kvadratiskt. Detta gäller faktiskt ocks˚a om en eller flera av x,y och z förekommer 

i nämnaren. Mera allmänt kan vi anta att 

a = x α y β z γ 

där exponenterna är konstanter. Derivatan med avseende p˚a x, t.ex., blir nu 

∂a 

∂x = αxα−1 yz = αa/x, och vi f˚ar 

 

 

∆a = a α ∆x 

x 

2 

 

+ β ∆y 

2 

+ γ 

y 

∆z 

2 z 

, 

. (3.8) 

Eftersom vi hur som helst m˚aste beräkna a är det ofta enklare att använda 

denna formel än ekvation 3.7. 

En annan anledning till att det relativa felet är betydelsefullt är att om vi 

har en logaritmisk funktion, 

a = lnx , 

blir da 1 

dx = x , s˚a att osäkerheten i logaritmen a blir lika med den relativa osäkerheten 

i x: 

∆ln x = ∆x 

(3.9) 

x


3.4 Systematiska och statistiska fel 

Vi har sett att när man p˚a basis av utförda mätningar bestämmer n˚agon 

fysikalisk storhet kan man vara säker p˚a att resultatet inte blir exakt rätt. Om 

man upprepar mätningarna f˚ar man i allmänhet ett annat värde. Om metoden 

är bra kommer sannolikheten för att f˚a ett värde i närheten av det sanna att vara 

större än sannolikheten för att f˚a ett starkt avvikande värde. Om man gör en 

mätning kan man änd˚a ha otur och f˚a ett d˚aligt värde (med stort fel), men om 

man mäter m˚anga g˚anger kommer man att kunna f˚a en allt bättre bestämning 

av storheten man är ute efter. 

S˚adana slumpmässiga avvikelser kallas för statistiska fel. Genom att samla 

mer statistik, dvs. genom att mäta flera g˚anger, kan vi minska den statistiska 

osäkerheten, och genom att se hur v˚ara värden sprider sig kan vi bestämma hur 

stor den är. Men vi kan inte mäta oändligt m˚anga g˚anger, s˚a vi kommer inte 

undan de statistiska felen. Även om vi bara mäter en g˚ang kommer vi att ha ett 

slumpmässigt (statistiskt) fel, men det blir i allmänhet sv˚art att veta hur stort 

det är (ibland g˚ar det dock genom en god först˚aelse av själva mätprocessen). 

Statistiska fel är trevliga, för de kan behandlas exakt med hjälp av matematisk 

statistik. Den andra kategorin av fel, de systematiska felen, är betydligt 

besvärligare att hantera korrekt. Ett systematiskt fel är ett som p˚averkar v˚art 

resultat p˚a ett sätt om inte är slumpmässigt. Ett exempel är felet i tummens 

bredd i exemplet i föreg˚aende avsnitt (dvs. hur mycket den avviker fr˚an en tum). 

Oavsett hur m˚anga g˚anger vi mäter kommer denna avvikelse att ge ett lika stort 

fel i slutresultatet. Vi kommer ju helt enkelt att stoppa in fel värde (2,54cm) 

varje g˚ang, och d˚a f˚ar vi först˚as fel svar. Det kan ocks˚a vara s˚a att metoden 

som vi använder för att ta fram värdet fr˚an mätningarna i medeltal inte ger 

rätt svar. Kanske beror det p˚a den statistiska proceduren ger en avvikelse (en 

bias), som vi inte lyckats korrigera för. Kanske har vi helt enkelt r˚akat använda 

fel formel! 

P˚a sätt och vis kan man säga att systematiska fel uppst˚ar när vi gör n˚agot 

fel i behandlingen av v˚ara mätresultat. V˚ar kalibreringskonstant (t.ex. tummens 

bredd) kanske är lite fel, vi kanske m˚aste använda n˚agon annans ganska osäkra 

bestämning av n˚agonting i v˚ara beräkningar, vi kanske använder en för grov 

approximation, eller vi kanske räknar fel. Om vi vet hur mycket fel det blev 

n˚agonstans korrigerar vi först˚as själva resultatet, s˚a de systematiska felen är de 

avvikelser som vi inte känner till. Att uppskatta hur stora de kan vara kan vara 

mycket sv˚art, eller i princip omöjligt. Men det är absolut nödvändigt! 

Ibland behandlar man systematiska fel ungefär som statistiska. Det är ett 

sätt att motivera varför vi använder ekvation 3.6 även för s˚adana fel. Vi kan 

tänka oss att s˚adant som v˚art resultat beror p˚a görs om, inklusive s˚adant som 

tidigare gjorts av andra och kalibreringar vi gjort 5 . Detta ger lite andra värden, 

och vi kan tänka oss att processen som lett till dem är slumpmässig. Men 

eftersom vi inte kan göra om bestämningar som gjorts av andra, och eftersom 

slumpmässiga ändringar i programmet vi kört kan ge precis vad som helst 

(inklusive kompileringsfel) kan detta vara en tvivelaktig procedur. Som en illustreration 

av varför den kan vara tvivelaktig kan vi g˚a tillbaka till guldexperimentet. 

En tum är 2,54cm. Min tumme är 2,40cm bred (vilket jag inte vet 

där i skogen). Om jag tänker mig att jag gör om uppskattningen flera g˚anger 

5 Däremot ska vi inte tänka oss att själva mätningarna görs om. Vi är ju t.ex. intresserade 

av hur resultatet p˚averkas om ett värde mätt av n˚agon annan är lite fel

3.4. SYSTEMATISKA OCH STATISTISKA FEL 35 

kommer jag att ”uppskatta” tummen till 2,54cm (en tum) varje g˚ang. Detta 

är sant även om jag p˚a n˚agot sätt skulle lyckas helt glömma att jag gjort uppskattningen 

tidigare. Värdet blir helt enkelt fel med 1,4mm, och det finns inget 

statistiskt i detta. 

Om jag har med mig en mobiltelefon i skogen kan jag förbättra min uppskattning 

av felet i tumbredden genom att ringa upp n˚agon som kan leta fram 

information om hur mycket tumbredden varierar mellan olika människor. Detta 

är en statistisk variation, som kan ges en exakt definition, och som jag kan 

använda som en bättre uppskattning av osäkerheten i min tumbredd. Felet i 

min tumsbredd blir fortfarande 1,4mm, och är fortfarande systematiskt. Det 

som ändrats är att jag uppskattat den systematiska osäkerheten med statistiska 

metoder. Detta är ˚a andra sidan värdefullt, eftersom en s˚adan osäkerhet är 

mycket lättare att handskas med. Jag kan nu tänka mig att jag valt en tumme 

p˚a m˚af˚a istället för att ta min egen, och jag vet hur stor statistisk osäkerhet 

detta skulle ge. Det är allts˚a nu väl motiverat att behandla det systematiska 

felet i tumbredden som statistiskt! 

Om personen jag ringer upptäcker att en genomsnittlig tumme är 2,49cm 

hade jag ytterligare ett systematiskt fel, nämligen att jag gjort det felaktiga 

antagandet att en tum är en genomsnittlig tumsbredd. Men det kan jag direkt 

korrigera för genom att använda 2,49cm istället, för 2,54cm. vilket skulle minska 

felet (inte osäkerheten) i tumbredden tll 0,9mm. 

Statistiska fel är som sagt lättare att handskas med. De kan ges en väldefinierad 

mening, de kan behandlas med väldefinierade metoder, och ekvation 

3.6, t.ex., kan ges en exakt härledning. Kommande kapitel beskriver statistiska 

metoder för databehandling.

36 KAPITEL 3. MÄTNINGAR OCH FEL

Kapitel 4 

Sannolikheter och statistik 

Sannolikhetsbegreppet är centralt när det gäller mätningar inom fysiken. I detta 

sammanhang definieras sannolikheten för ett visst utfall (allts˚a n˚agot speciellt 

som sker) utifr˚an den relativa frekvensen. Om vi upprepar ett försök, t.ex. ett 

tärningsslag, m˚anga g˚anger kommer vi att f˚a en sexa en g˚ang av sex. Sl˚ar vi bara 

en g˚ang f˚ar vi antingen en sexa eller n˚agot annat, men sl˚ar vi väldigt m˚anga 

g˚anger kommer 1/6 av slagen att ge en sexa. Vi kan definiera sannolikheten som 

N6 

P(6) ≡ lim 

N→∞ N 

där N är antalet g˚anger vi sl˚ar och N6 antalet sexor. Är tärningen inte ideal, 

(vilket den inte är!) kommer sannolikheten inte att vara exakt 1/6. För att se 

hur mycket den avviker m˚aste vi sl˚a m˚anga g˚anger, och ju mindre avvikelsen 

är, desto fler g˚anger m˚aste vi sl˚a för att komma tillräckligt nära oändligheten i 

definitionen ovan. 

4.1 Sannolikhetsfördelningar 

När vi mäter en reell storhet (t.ex. en massa eller längd) f˚ar vi ett värde (som 

vi vill skall ligga nära det sanna värdet). Om vi upprepar mätningen f˚ar vi ett 

annat värde. En variabel som p˚a detta sätt antar slumpmässiga värden kallas 

för en stokastisk variabel. 

Om x är en s˚adan variabel som kan anta reella värden p˚a en kontinuerlig 

skala kan vi inte tala om sannolikheten för ett specifikt värde p˚a x. Det finns ju 

oändligt m˚anga värden, s˚a sannolikheten att exakt f˚a ett i förväg givet m˚aste 

vara noll. Däremot kan vi tala om sannolikheten för att värdet skall ligga i 

ett visst intervall, och vi kan definiera sannolikhetstätheten (eng. ”probability 

density function”) vid ett visst värde x0 som 

P(x ∈ ∆x) 

f(x0) = lim 

∆x→0 ∆x 

Här är ∆x ett intervall runt x0 p˚a x-axeln och P(x ∈ ∆x) är sannolikheten för 

att x hamnar i detta intervall. 1 

1 Om intervallet är litet är det naturligt att inget värde i intervallet är mer sannolikt än 

n˚agot annat, och d˚a blir sannolikheten proportionell mot intervallets längd, vilket krävs för 

att definitionen skall fungera. 

37

38 KAPITEL 4. SANNOLIKHETER OCH STATISTIK 

Sannolikheten att f˚a ett värde i ett litet intervall dx blir allts˚a f(x)dx, och 

sannolikheten att x hamnar mellan a och b blir allts˚a 

b 

P(a < x < b) = f(x)dx (4.1) 

Man säger att värdena p˚a x är fördelade längs x-axeln p˚a ett sätt som beskrivs 

av sannolikhetstätheten f(x), och ibland talar man om f(x) som en sannolikhetsfördelning. 

Eftersom sannolikheten att f˚a n˚agot värde p˚a x när man väljer 

ett slumpmässigt är 1, blir 

∞ 

f(x)dx = 1 . (4.2) 

−∞ 

Figur 4.1 visar ett exempel p˚a en sannolikhetsfördelning. Det skulle kunna 

vara sannolikhetstätheten för olika värden vid en mätning där det sanna värdet 

är 105,5. Varje mätning ger ett slumpmässigt värde, och med fem mätningar 

skulle vi t.ex. kunna f˚a den uppsättning värden som är markerade med pilar. 

Gör vi fem mätningar till f˚ar vi fem andra värden. Det g˚ar inte att säga vilka, 

men eftersom sannolikhetstätheten är mycket nära noll utanför intervallet som 

visas i figuren är det ytterst osannolikt att n˚agot skulle hamna där. Om vi 

f(x) 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

95 100 105 110 115 

x 

Figur 4.1: Ett exempel p˚a fem värden dragna fr˚an en sannolikhetstäthet centrerad 

vid x = 105,5. 

inte känner till fördelningen kan vi uppskatta hur den ser ut genom att göra 

m˚anga mätningar. I s˚a fall är det inte särskilt praktiskt att markera de enskilda 

mätningarna som i Figur 4.1. Det är inte heller särskilt översk˚adligt att 

bara lista dem i en tabell. Ett praktiskt och ofta använt sätt att ˚ask˚adliggöra 

värden dragna ur en sannolikhetsfördelning är ett histogram. Antag att vi gör 

200 mätningar istället för fem. Att lista alla 200 värdena blir inte s˚a översk˚adligt. 

Istället kan vi dela in dem i klasser (eller ”binnar” efter engelskans bins). Varje 

klass svarar mot en del av x-axeln. Väljer vi klassbredden 2 i exemplet kanske 

v˚ara 200 värden fördelar sig som i tabell 4.1. Detta blir mycket mer ˚ask˚adligt 

om vi representerar v˚ara data i ett histogram som i Figur 4.2. Histogrammet 

a

4.1. SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR 39 

Tabell 4.1: Fördelning av 200 värden dragna ur sannolikhetsfördelningen i 

Figur 4.1. 

Klass Frekvens Klass Frekvens 

95 − 96 0 105 − 106 74 

96 − 97 0 106 − 107 41 

97 − 98 1 107 − 108 6 

98 − 99 23 108 − 109 2 

99 − 100 53 109 − 110 0


ger en god bild av hur fördelningen ser ut. Klasserna bör väljas s˚a breda att 

man i det mest sannolika omr˚adet inte f˚ar stora fluktuationer mellan dem. ˚A 

andra sidan förlorar man information genom att välja dem alltför breda. I det 

här exemplet kunde vi ha valt en mindre binbredd än 2, men knappast större. 

värden/bin 

60 

40 

20 

0 

95 100 105 110 115 

x 

Figur 4.2: Ett histogram över värdena i tabell 4.1. Sannolikhetstätheten i Figur 

4.1 har multiplicerats med 200, eftersom vi har 200 värden, och med 2, eftersom 

varje värde bidrar till histogrammet över över en klassbredd. P˚a detta sätt blir 

ytan under kurvan densamma som under histogrammet. 

4.2 Medelvärde och standardavvikelse 

Antag nu att vi drar N stycken x-värden, x1,x2, ... xN, ur fördelningen f(x) 

(t.ex. genom upprepade mätningar). L˚at oss bilda det aritmetiska medelvärdet 

av dessa värden: 

x = 

N 

i=1 xi 

N 

(4.3) 

Eftersom de olika xi är dragna slumpmässigt (stokastiskt) kommer ocks˚a x att 

bli en stokastisk variabel. Sannolikheten att f˚a ett x-värde i ett intervall ∆x 

som är s˚a litet att f kan anses konstant blir f(x)∆x. Om vi l˚ater N bli mycket 

stort blir antalet värden i ∆x lika med Nf(x)∆x (se tärningsexemplet ovan). 

För mycket stora N kan vi skriva xi = xNf(x)dx, och vi f˚ar allts˚a att 

 

x → xf(x)dx (4.4) 

d˚a N → ∞. Vi inför nu fördelningens medelvärde 

 

µ = xf(x)dx (4.5) 

som allts˚a är det asymptotiska värde som det aritmetiska medelvärdet närmar 

sig när vi har m˚anga x-värden. Integralen i ekvation 4.5 kallas ocks˚a för förväntansvärdet 

av x. Den är en ”summa” av alla möjliga x-värden med en vikt 

som är proportionell mot hur sannolika de är.

4.2. MEDELVÄRDE OCH STANDARDAVVIKELSE 41 

Analogt med det aritmetiska medelvärdet av x i ekvation 4.3 kan vi skriva 

medelvärdet av x2 som 

x 2 = 

N 

1 x2 i 

N 

P˚a samma sätt som för x ser vi att medelvärdet av x2 närmar sig integralen 

2 x f(x)dx för stora N. Allmänt kan vi skriva förväntansvärdet eller väntevärdet 

(eng. ”expectation value”) av en funktion h(x) som 

 

E(h(x)) = h(x)f(x)dx (4.6) 

Medelvärdet µ är ett lägesm˚att som beskriver var längs x-axeln fördelningen 

ligger. Ett annat lägesm˚att är medianen, xm, som delar fördelningen i tv˚a halvor 

med samma sannolikhet: 

xm 

−∞ 

∞ 

f(x)dx = 

xm 

. 

f(x)dx = 1 

2 

Ytterligare ett lägesm˚att är typvärdet eller modalvärdet, som är det vanligaste 

värdet, dvs. det x-värde där f(x) har sitt maximum. 

Om f(x) beskriver hur sannolika olika värdena är d˚a vi gör en mätning 

vill vi först˚as att lägesm˚atten hamnar nära det sanna värdet p˚a x, som vi kan 

kalla xs. Men det räcker inte med det, vi mäter ju bara en g˚ang, och även om 

förväntansvärdet µ ligger nära xs s˚a kanske det värde vi r˚akar f˚a hamnar l˚angt 

därifr˚an 2 . Det som spelar roll här är hur spridda värden som dras ur f(x) är, 

dvs. hur snabbt f(x) faller när vi avlägsnar oss fr˚an centralvärdet. 

Vi vill nu definiera ett m˚att p˚a spridningen hos fördelningen. Det är naturligt 

att utg˚a ifr˚an fördelningens medelvärde µ och betrakta skillnaden x − µ. Om 

denna skillnad är stor (till beloppet) för värden p˚a x som är vanliga (dvs. har 

stora värden p˚a f(x)) betyder det att värdena har en stor spridning. Vi skulle 

kunna bilda förväntansvärdet av x−µ, men det blir noll eftersom de positiva och 

negativa bidragen tar ut varandra (kontrollera gärna). Istället kunde vi bilda 

förväntansvärdet av |x − µ|, men absolutbelopp är inte s˚a praktiska att räkna 

med. Ett bättre m˚att p˚a spridningen är därför förväntansvärdet av (x − µ) 2 , 

dvs 

V (x) = E((x − µ) 2 

) = (x − µ) 2 f(x)dx (4.7) 

där vi integrerar över alla x med f(x) = 0. Storheten V är allts˚a medelvärdet 

av kvadraten av avvikelsen fr˚an medelvärdet av x. Den kallas för variansen av 

x. Kvadratroten av variansen, 

σ = √ V (4.8) 

är fördelningens standardavvikelse. 

Om vi jämför med hur vi gick fr˚an de aritmetiska medelvärdena av x resp. x 2 

till förväntansvärden uttryckta som integraler ser vi att fr˚an N stycken x-värden 

kan vi uppskatta V som 1 N 1 (xi − µ) 2 , om vi känner µ. 

N 

I praktiken vill vi ofta fr˚an N stycken värden uppskatta b˚ade medelvärde och 

varians hos den bakomliggande fördelningen. Uppskattningen av medelvärdet 

blir µ = x. Jag använder hatt-symbolen (cirkumflex, ” ”) för att poängtera 

2 Vi kan öka precisionen genom att mäta flera g˚anger, men i s˚a fall m˚aste vi i alla fall 

kombinera ihop v˚ara resultat till ett slutvärde. Det är det värdet som diskuteras här.


att detta är en uppskattning, ett estimat, av fördelningens medelvärde. Vi kan 

uppskatta variansen som 1 N N 1 (xi − µ) 2 och använda µ = x istället för µ (som 

vi inte känner). Men eftersom µ = x är beräknat fr˚an v˚ara x-värden kommer de 

att ligga bättre centrerade runt µ än runt fördelningens medelvärde µ. Det gör 

att vi underskattar spridningen om vi använder uttrycket ovan. Om N är stort 

s˚a att medelvärdet är välbestämt spelar det ingen större roll, men för f˚a värden 

(litet N) har det betydelse. (Om man bara har ett värde är det uppenbarligen 

nonsens att uppskatta spridningen över huvudtaget, s˚avida man inte känner till 

mer om den underliggande fördelningen än detta enda x-värde.) 

Man kan visa att det är möjligt att korrigera för problemet att spridningen 

runt det aritmetiska medelvärdet är ”för liten”, genom att dividera med N − 1 

istället för med N, och uppskatta variansen som 

s 2 = V = 1 

N − 1 

N 

(xi − µ) 2 

1 

. (4.9) 

Uppskattningen för fördelningens standardavvikelsen blir d˚a den s.k. stickprovsstandardavvikelsen 

 

N 

1 s = σ = 

(xi − x) 2 

N − 1 

. (4.10) 

Det är ofta inte nödvändigt att använda hatt-beteckningar för att poängtera 

att det rör sig om uppskattningar av den bakomliggande fördelningens egenskaper. 

Har man bestämt standardavvikelsen fr˚an sina data med ekvation 4.10 

kan man beteckna den med σ s˚a länge det inte finns risk för missförst˚and. I 

de praktiska räkningarna har man ingen glädje av fördelningens sanna (men 

okända) standardavvikelse. Motsvarande gäller för medelvärdet. 

När man ska beräkna standardavvikelsen för ett urval x-värden är ekvation 

4.10 lite besvärlig eftersom man först m˚aste g˚a igenom alla x-värden för att 

bestämma x och sedan bilda (xi − x) 2 för alla xi. Men man kan skriva om 

uttrycket för s2 enligt s2 = 1 

 

2 xi + x2 − 2xix = 

N−1 i (xi − x) 2 = 1 

N−1 i 

1 2 

N−1 x + Nx2 − 2( x) x . Insättning av x = ( x)/N ger att 

s = 

 

1 

N − 1 

 

x2 − 1 

 

2 

x 

N 

. (4.11) 

Om vi allts˚a summerar v˚ara x-värden och deras kvadrater kan vi direkt beräkna 

variansen enligt ovan utan att bilda skillnaderna (xi − x). 

4.3 N˚agra sannolikhetsfördelningar 

Det finns m˚anga olika sannolikhetstätheter som dyker upp i olika sammanhang 

och som kan härledas fr˚an tämligen enkla antaganden. Här följer n˚agra exempel. 

Tanken med det här avsnittet är just att ge exempel för att konkretisera. 

Dessutom kanske det kan vara bra att g˚a tillbaka och titta i när man stöter p˚a 

dessa fördelningar senare. 

Den enklaste sannolikhetsfördelning kan i viss mening sägas vara den likformiga 

fördelningen, som visas i Figur 4.3. Alla värden inom ett intervall är

4.3. N˚AGRA SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR 43 

f(x) 

1/(a-b) 

0 

a b 

Figur 4.3: En likformig sannolikhetsfördelning är konstant i ett intervall [a,b] 

och noll utanför. 

lika sannolika, och värden utanför intervallet är uteslutna. Storleken av sannolikhetstätheten 

blir omvänt proportionell mot intervallets bredd eftersom ytan 

under kurvan skall vara ett ( f(x)dx = 1). 

Fördelningen i Figur 4.1) är en s˚a kallad normalfördelning, eller gaussfördelning. 

Det är den viktigaste av alla sannolikhetsfördelningar. Därför använder 

man ofta en särskild beteckning, f(x) = G(x|µ,σ), för en normalfördelning med 

medelvärde µ och standardavvikelse σ. Sannolikhetstätheten G ges av uttrycket 

G(x|µ,σ) = 

1 

√ e 

2π σ 1 

2( x−µ 

σ ) 2 

x 

(4.12) 

De olika numeriska konstanterna har de värden de har för att σ skall vara 

standardavvikelsen, definierad som roten ur variansen, och för att totala sannolikhetsinneh˚allet 

skall vara ett, enligt ekvation 4.2. 

Medelvärdet för normalfördelningen i Figur 4.1 är µ = 105,5 och standard- 

avvikelsen är σ = 2,3. En standardnormal fördelning är en normalfördelning med 

medelvärde 0 och standardavvikelse σ = 1, dvs G(x|0,1) = 1 

√ 2π exp − 1 

2 x2 . En 

s˚adan visas i Figur 4.4. Lägg märke till att om vi har en variabel x fördelad enligt 

en normalfördelning med medelvärde µ och standardavvikelse σ kan vi bilda 

z = 

x − µ 

σ 

(4.13) 

som har en standardnormal fördelning. Den stokastiska variabeln x ′ = x − µ 

har ju medelvärdet noll, men samma spridning som x. Och skalar vi om alla 

x-värden med en faktor skalar standardavvikelsen med samma faktor. Faktor 1 

σ 

gör allts˚a att z f˚ar standardavvikelsen ett. 

Om man drar ett värde z ur en standardnormal fördelning och kvadrerar det 

f˚ar x = z 2 en fördelning som snabbt faller fr˚an ett maximim vid x = 0 (när de 

sannolika z-värdena nära noll kvadreras kommer de ännu närmare noll). Drar 

man sex z-värden och bildar summan x = 6 i=1 z2 i f˚ar man fördelningen i Figur 

4.5. Detta är en s˚a kallad χ2-fördelning med sex ”frihetsgrader” (standardnormala 

termer). Ofta betecknar man en variabel som fördelas p˚a detta sätt med


f(x) 

0,5 

0 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 

Figur 4.4: En normalfördelning (gaussfördelning) med medelvärde noll och 

standardavvikelse σ = 1. Denna speciella normalfördelning kallas för standardnormal. 

f(x) 

0.15 

0.10 

0.05 

0 

0 5 10 15 20 

Figur 4.5: En χ 2 -fördelning med sex frihetsgrader. En s˚adan fördelning f˚as 

om man drar sex värden ur en standardnormal fördelning och bildar summan 

av deras kvadrater. Pilarna visar, fr˚an vänster till höger, typvärde, median och 

medelvärde. 

χ 2 (chi-kvadrat, eng. ”chi-square”), t.ex. 

χ 2 = 

6 

i=1 

z 2 i . 

Som synes är fördelningen i Figur 4.5 inte symmetrisk, utan har en ”svans” 

som sträcker sig mot höga värden, medan tätheten däremot faller snabbt d˚a 

x = χ 2 närmar sig noll. Detta f˚ar till följd att typvärde, median, och medelvärde 

(de tre pilarna i figuren) inte sammanfaller. Typvärdet är det lägsta av de 

x 

x

4.3. N˚AGRA SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR 45 

tre, medelvärdet det högsta. Ju fler frihetsgrader, desto mer symmetrisk blir 

fördelningen, och den närmar sig asymptotiskt en normalfördelning. 

Figur 4.6 visar en exponentiell fördelning, där sannolikhetstätheten faller 

exponentiellt med x för positiva x, och är noll för x < 0. Sannolikhetstätheten 

kan skrivas 

f(x|µ) = 1 

µ e− x 

µ , (4.14) 

där µ är medelvärdet och konstanten 1 

µ garanterar att integralen blir ett. Vi ser 

att för x = µ har f fallit med en faktor e−1 jämfört med värdet för x = 0. Ofta 

är variabeln x = t en tid, och fördelningen beskriver t.ex.sannolikheten för att 

en instabil partikel, som ännu inte söderfallit vid tiden noll, ska sönderfalla vid 

tiden t. I s˚a fall brukar medelvärdet betecknas med τ istället. Det är partikelns 

(medel)livstid. 

f(x) 

1/μ 

0 

0 μ 

e −1 /μ 

Figur 4.6: En exponentiell fördelning av positiva värden med medelvärde µ. 

Som ett sista exempel tar vi poissonfördelningen. Den är inte en sannolikhetstäthet, 

utan ger istället sannoliheter för att f˚a olika heltal. Oftast gäller 

det antalet händelser, eller observationer, av n˚agot visst slag. För en s˚adan 

diskret fördelning blir formlerna för medelvärde och varians lite enklare eftersom 

man inte behöver integrera, utan kan summera istället. Fördelningens 

medelvärde blir t.ex. 

∞ 

µ = νP(ν) 

ν=0 

där P(ν) är sannolikheten för heltalet ν. Poissonfördelningen med medelvärdet 

µ ges av uttrycket 

−µ µν 

P(ν|µ) = e (4.15) 

ν! 

För att˚ask˚adliggöra en s˚adan diskret fördelning är det lämpligt att använda ett 

stapeldiagram som i Figur 4.7. Sannolikheten är ju bara definierad för heltal, s˚a 

man bör inte rita en kontinuerlig kurva. Poissonfördelningen har den speciella 

x


P(ν) 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

0 2 4 6 8 10 

Figur 4.7: En poissonfördelning med medelvärde µ = 2,3. Detta är en diskret 

fördelning av heltalsvärden,och ingen sannolikhetstäthet. Fördelningen anger 

sannolikheten för olika heltal ν. 

egenskapen att variansen är lika med medelvärdet, 

σ 2 = µ , (4.16) 

vilket betyder att om vi vet att en observation av ett antal är dragen ur en 

poissonfördelning kan vi uppskatta b˚ade fördelningens medelvärde och standardavvikelse 

utifr˚an denna enda observation av ett antal ν: 

µ = ν 

σ = √ ν . 

4.4 Statistisk feluppskattning och felpropagering 

Om vi mäter en storhet x en g˚ang kan slumpmässiga avvikelser fr˚an det sanna 

värdet xs beskrivas av en sannolikhetsfördelning. Dess medelvärde µ = xs är det 

sanna värde vi vill bestämma 3 , och standardavvikelsen σx är ett m˚att p˚a den 

typiska avvikelsen fr˚an detta värde. Men den typiska avvikelsen fr˚an det sanna 

värdet är ju just osäkerheten i mätningen. Om vi känner standardavvikelsen 

kan vi allts˚a ange osäkerheten som 

∆x = σx 

Om vi vill bestämma värdet och osäkerheten p˚a en annan storhet a som är en 

funktion av x sätter vi först˚as in resultatet av v˚ar x-mätning i funktionsuttrycket 

för a(x). I princip m˚aste vi därför bestämma hur den stokastiska variabeln a(x) 

är fördelad. Det kan vara besvärligt att göra detta för en godtycklig funktion 

3 Om vi kan försumma, eller i alla fall för tillfället ignorera, systematiska fel. 

ν

4.4. STATISTISK FELUPPSKATTNING OCH FELPROPAGERING 47 

och för stora osäkerheter, men om avvikelserna är tillräckligt sm˚a fungerar en 

linjär approximation. I s˚a fall kan vi skriva förväntansvärdet (medelvärdet) av 

a(x) enligt ekvation 4.6: 

 

 

E(a(x)) = a(x)f(x)dx = a(xs) + da 

 

(x − xs) f(x)dx 

dx 

där a(xs) = as är det sanna värdet av a och derivatan är konstant inom det 

omr˚ade där f(x) inte är försumbart. Ovanst˚aende integral kan delas upp enligt 

E(a(x)) = as 

 

f(x)dx+ da 

 

dx 

xf(x)dx − xs 

 

 

f(x)dx = as+ da 

dx (µ−xs) , 

där den sista likheten följer av uttrycket för fördelningens medelvärde µ (ekvation 

4.5) och normeringen av sannolikhetstätheten ( f(x)dx = 1). Eftersom 

medelvärdet µ = E(x) är lika med det sanna värdet xs ser vi att 

E(a(x)) = a(E(x)) . (4.17) 

Detta är ett matematiskt samband som gäller om a är en linjär funktion av x. 

Här identifierar vi E(x) = µ med det sanna värdet xs, men själva räkningen 

fungerar lika bra utan att vi inför n˚agot sant värde. Uttryckt i ord säger ekvation 

4.17 att medelvärdet av en funktion kan vi f˚a genom att i funktionsuttrycket 

sätta in medelvärdet av variabeln. 

Vi behöver ocks˚a bestämma hur stora variationerna i a(x) är, dvs. bestämma 

standardavvikelsen för a(x). Vi börjar med kvadraten av standardavvikelsen, 

allts˚a variansen. Den ges av ekvation 4.7, där vi f˚ar byta ut x mot a(x) och 

medelvärdet µ = E(x) mot E(a(x)). Om vi använder ekvation 4.17 f˚ar vi 

V (a) = E (a(x) − E(a(x)) 2 = E (a(x) − a(µ)) 2 = 

E a(x) 2 + a(µ) 2 − 2a(x)a(µ) 

Eftersom E betecknar en integration som i ekvation 4.6 kan vi dela upp det 

sista ledet: 

V (a) = E a(x) 2 + a(µ) 2 − 2a(µ)E(a(x)) 

Den sista termen kan nu skrivas om enligt ekvation 4.17, och i den första termen 

kan vi ˚aterigen anta att a kan anses (eller approximeras som) linjär. Vi f˚ar att 

V (a) = E a(µ) + da 

 

2 

(x − µ) − a(µ) 

dx 2 

och om vi utvecklar kvadraten och tar ut konstanter ur väntevärdesintegralerna 

f˚ar vi 

 

V (a) = E a(µ) 2 2 da 

+ (x − µ) + 2a(µ) 

dx da 

 

(x − µ) − a(µ) 

dx 2 = 

a(µ) 2 + 

2 da 

dx 

E((x − µ) 2 ) + 2a(µ) da 

E(x − µ) − a(µ)2 

dx 

. 

, 

.


Men E(x − µ) = 0 och E((x − µ) 2 ) = V (x) = σ2 x, s˚a 

2 da 

V (a) = σ 

dx 

2 x . 

Standardavvikelsen för a blir allts˚a 

σa = da 

dx σx 

(4.18) 

Detta resultat för σa är egentligen självklart! Vi har approximerat a med en 

linjär funktion. Det betyder att a-värdena f˚as fr˚an x-värdena genom en translation 

och en ändring av skalan. Fördelningen ser allts˚a likadan ut, men den 

hamnar p˚a ett annat ställe och bredden ändras med en faktor da 

dx . 

Ekvation 4.18 är felfortplantningsformeln, ekvation 3.7, för en variabel. Nu 

antar vi att vi har mätningar av tv˚a oberoende variabler, x och y som beskrivs 

av sannolikhetstätheter f(x) och g(y) med medelvärden µx och µy och standardavvikelser 

σx och σy. Att variablerna är oberoende betyder att sannolikheten 

f(x)dx för att hamna i ett litet intervall dx är oberoende av vilket värde ymätningen 

gav och vice versa. Sannolikheten för att x ska hamna i intervallet 

dx samtidigt som y hamnar i intervallet dy blir d˚a f(x)g(y)dxdy. Om vi upprepar 

mätningarna m˚anga g˚anger kommer ju en andel f(x)dx att hamna i dx 

och av den andelen kommer en andel g(y)dy att hamna i dy. 

Vi vill nu bestämma medelvärde och standardavvikelse för en funktion a = 

a(x,y) som beror p˚a b˚ada variablerna. Räkningarna blir väldigt lika envariabelfallet 

som behandlades ovan. Istället för att som i avsnitt 4.2 integrera över x- 

axeln m˚aste vi nu integrera över xy-planet när vi bildar väntevärden. Medelvärdet 

av a blir 

 

E(a(x,y)) = a(x,y)f(x)g(y)dxdy , (4.19) 

vilket vi kan skriva som 

 

E(a(x,y)) = 

 

dy g(y) 

dx a(x,y)f(x) 

och utföra integrationen över x först, för y fixt. Ekvation 4.17 ger d˚a att E(a(x,y)) = 

dy g(y)a(µx,y). Nu är a(µx,y) en funktion av en variabel, s˚a ekvation 4.17 

ger att 

E(a(x,y)) = a(µx,µy) (4.20) 

En förutsättning är liksom tidigare att a kan behandlas som en linjär funktion. 

För funktioner som faktiskt är linjära blir sambandet exakt. Vi ser till exempel 

att a = x + y ger 

E(x + y) = µx + µy , 

dvs. medelvärdet av en summa är summan av medelvärdena. Detta beror p˚a att 

integralen av en summa är summanP av integralerna. P P Motsvarande gäller ocks˚a 

(x+y) x+ y 

aritmetiska medelvärden: x + y = N = N = x + y. Det är ganska 

självklart, men viktigt! 

När vi nu har medelvärdet av a kan vi bestämma variansen som tidigare 

(”E()” betecknar nu integration över xy-planet, men fortfarande är E(C) = C 

om C är en konstant): 

V (a) = E [a(x,y) − E(a(x,y))] 2 = E [a(x,y) − a(µx,µy)] 2 =

4.4. STATISTISK FELUPPSKATTNING OCH FELPROPAGERING 49 

E a(x,y) 2 + a(µx,µy) 2 − 2a(x,y)a(µx,µy) = 

Ekvation 4.20 ger nu att 

E a(x,y) 2 + a(µx,µy) 2 − 2a(µx,µy)E(a(x,y)) 

V (a) = E(a(x,y) 2 ) − a(µx,µy) 2 

där vi ˚aterigen approximerar a som linjär, men nu som en funktion av tv˚a 

variabler. Vi betraktar allts˚a partialderivatorna som konstanta, och f˚ar att 

V (a) = E a(µx,µy) + ∂a 

∂x (x − µx) + ∂a 

 

2 

(y − µy) − a(µx,µy) 

∂y 2 = 

2a(µx,µy) ∂a 

∂x 

 

E a(µx,µy) 2 2 2 ∂a 

∂a 

+ (x − µx) + (y − µy) + 

∂x ∂y 

(x−µx)+2a(µx,µy) ∂a 

∂y 

∂a ∂a 

(y−µy)+2 (x−µx) 

∂x ∂y (y−µy) 

 

−a(µx,µy) 2 

Eftersom vi integrerar b˚ade över x och y och f(x)(x − µx)dx = g(y)(y − 

µy)dy = 0 kommer de tre dubbla produkterna att integreras till noll. Dessutom 

blir E(a(µx,µy) 2 ) = a(µx,µy) 2 eftersom a(µx,µy) 2 är en konstant. Eftersom 

derivatorna kan anses konstanta kan vi flytta ut dem ur förväntansvärdesintegralerna. 

Kvar blir 

V (a) = 

2 ∂a 

E 

∂x 

(x − µx) 2 + 

 

∂a 

∂y 

2 

E (y − µy) 2 = 

I termer av standardavvikelser kan detta skrivas som 

 

 

∂a 

σa = 

∂x σx 

2 

∂a 

+ 

∂y σy 

2 , 

2 ∂a 

V (x)+ 

∂x 

 

∂a 

∂y 

och vi kan generalisera till det fall att vi har N stycken variabler xi;i = 1,N, 

istället för x och y: 

 

 

∂a 

σa = 

2 . (4.21) 

σi 

∂xi 

Här har vi betecknat standardavvikelsen för xi med σi. Vi ser att vi har visat 

ekvation 3.7 om vi identifierar v˚art ”typiska fel” ∆x med standardavvikelsen 

σx. Om a är en enkel summa, 

blir partialderivatorna ett och 

a = x + y , 

σ 2 a = σ 2 x + σ 2 y . (4.22) 

När vi adderar tv˚a oberoende variabler (fel) adderas allts˚a varianserna, medan 

standardavvikelserna (osäkerheterna) adderas kvadratiskt, som i ekvation 3.5. 

I det ovanst˚aende resonemanget använde jag standardavvikelserna för mätningarna 

av x och y. Det är dock inte alls säkert att vi vet hur stora de är. 

2 

V (y) .


Tvärtom behöver vi ofta mäta x flera g˚anger för att f˚a en uppfattning om spridningen 

mellan olika mätningar. I föreg˚aende avsnitt s˚ag vi att utifr˚an N värden 

dragna fr˚an en sannolikhetsfördelning kan uppskatta dess medelvärde som det 

PN 

aritmetiska medelvärdet, x, och dess standardavvikelse som s = 

1 (xi−bµ)2 

N−1 

Den typiska avvikelsen är ju just vad vi önskar ange som fel, s˚a man kanske 

kan tycka att vi borde skriva resultatet av v˚ar mätning som x ± s. Men s är 

den typiska avvikelsen av ett mätvärde fr˚an det sanna värdet µ. När vi bildar 

medelvärdet av N mätningar f˚ar vi n˚agot som har en mindre standardavvikelse 

(i gränsen N → ∞ gäller ju att x → µ). Vi m˚aste P allts˚a ta fram standar- 

xi 

davvikelsen för den stokastiska variabeln x = N , vilket är lätt gjort med 

ekvation 4.21. Medelvärdet x är ju en funktion av de N värdena xi, all dragna 

ur samma förelning, och ∂x 

∂xi = 1 N , s˚a 

 

 

 

σx = 

 

1 

N σx 

 

 

2 

= N 

i 

 

1 

N σx 

2 eftersom alla termerna i summan är identiska. Vi f˚ar allts˚a att 

σx = σx 

√N . (4.23) 

Detta är en mycket viktig formel. Den beskriver hur vi kan minska spridningen 

runt medelvärdet (felet) genom att göra flera mätningar. Faktorn √ N som 

beskriver hur v˚ar osäkerhet minskar förekommer alltid när man samlar in data 

för att bestämma n˚agonting. Om vi vill minska den statistiska osäkerheten till 

en tiondel, t.ex., m˚aste vi allts˚a göra 100 g˚anger s˚a m˚anga mätningar. 

Om vi upprepar en mätning flera g˚anger och bildar medelvärdet f˚ar vi allts˚a 

en mindre statistisk osäkerhet, vilket är bra. Dessutom kan vi bestämma den 

statistiska osäkerheten, vilket är ännu bättre. För att göra detta uppskattar vi 

standardavvikelsen enligt ekvation 4.10. I praktiken kan vi kalla v˚ar uppskattning 

för σx istället för s. Ibland är vi intresserade av spridningen σx för de 

enskilda mätningarna, men för att ta fram ett fel i v˚ar bestämning av det sanna 

värdet (fördelningens medelvärde) dividerar vi med √ N. 

4.5 Att kombinera mätresultat 

Antag att vi mäter flera g˚anger för att bestämma medelvärdet av en fördelning. 

För att vara lite konkreta kan vi tänka oss att vi mäter tyngdaccelerationen g. 

Vi mäter fyra g˚anger, f˚ar värdena ga,i,i = 1,4, beräknar medelvärdet som vi 

kan kalla ga, och uppskattar medelvärdets standardavvikelse som σa = s 

√ 4 , där 

s enligt ekvation 4.10 är v˚ar uppskattning av standardavvikelsen σ i en enskild 

mätning. V˚art resultat för tyngdaccelerationen blir d˚a 

g = ga ± σa . 

Egendomligt nog visar det sig att n˚agon annan r˚akar ha gjort exakt samma typ 

av mätningar med samma apparatur. Denne person är dock en riktig streber 

och har gjort 16 mätningar, gb,j,j = 1,16. Hans resultat är 

g = gb ± σb . 

.

4.5. ATT KOMBINERA MÄTRESULTAT 51 

Eftersom vi nu har 20 mätningar totalt vill vi använda allihop för att f˚a fram 

ett bästa värde p˚a g. Vi bildar medelvärdet av de 20 mätningarna: 

g = 

4 

i=1 ga,i + 16 

j=1 gb,j 

4 + 16 

Om vi l˚ater Na = 4 vara antalet mätningar vi gjort, och Nb = 16 antalet som 

gjorts av den andra personen, s˚a att totala antalet mätningar är N = Na + Nb, 

kan vi uttrycka ovanst˚aende direkt i v˚ara respektive mätseriers medelvärden 

som 

g = Naga + Nbgb 

. (4.24) 

N 

Varje medelvärde f˚ar allts˚a en vikt som svarar mot antalet mätningar det baserats 

p˚a. Vi skulle ocks˚a kunna beräkna standardavvikelsen för alla 20 värdena, 

men istället utnyttjar vi de uppskattade standardavvikelserna i medelvärdena 

ga och gb. De är baserade p˚a standardavvikelsen i en enskild mätning, σ, som 

vi kan betrakta som välbestämd i b˚ada mätserierna. Ekvation 4.23 betyder d˚a 

att 

σa = σ/ Na 

σb = σ/ Nb 

σg = σ/ √ N 

Om vi löser ut Na, Nb och N ur ovanst˚aende ger sedan sambandet N = Na+Nb 

att 

1 

σ 2 g 

= 1 

σ2 + 

a 

1 

σ2 b 

. 

. (4.25) 

Vi kan ocks˚a sätta in uttrycken för Na, Nb och N i ekvation 4.24 och f˚a 

g = 

1 

σ2 ga + 

a 

1 

σ2 gb 

b 

1 

σ2 + 

a 

1 

σ2 b 

. (4.26) 

Det enda som ing˚ar i de tv˚a ekvationerna ovan är de tv˚a resultaten g = ga ± σa 

resp. g = gb ± σb. Vi behöver allts˚a inte vet hur m˚anga mätningar som gjordes, 

eller vad de enskilda mätningarna gav. Allt vi behöver för att kombinera de tv˚a 

resultaten är just de tv˚a resultaten. Vi generaliserar nu till det fall d˚a vi kombinerar 

N mätserier (vi behöver inte längre symbolen N för antalet mätningar i 

en serie). Resultatet av mätserie i blir en uppskattning xi för en storhet x, med 

osäkerhet σi. Det resulterande medelvärdet kan vi t.ex. beteckna med xwa där 

wa st˚ar för ”weighted average”, eller viktat medelvärde. Det viktade medelvärdet 

med fel beräknas allts˚a enligt 

wi = 1 

σ2 ; i = 1,N 

i 

 

i 

xwa = 

wixi 

 

i wi 

σwa = 

1 

 

i wi 

(4.27)


Här har vi tänkt oss att vi kombinerar resultaten fr˚an N stycken mätserier 

som endast skiljer sig ˚at genom att de inneh˚aller olika m˚anga mätningar, men 

det viktade medelvärdet är mycket mer allmänt användbart än s˚a. Antag att 

v˚ar vän i själva verket inte bringade ned sin osäkerhet till hälften av v˚ar genom 

att mäta 16 g˚anger. Han kanske istället hittat ett bättre sätt att mäta som 

minskade spridningen och gjorde att han fick hälften av v˚ar osäkerhet, trots 

att han mätt lika m˚anga g˚anger som vi. Det spelar egentligen ingen roll hur 

han minskat sitt fel. Vi kan l˚atsas att han vunnit i precision genom att öka 

antalet mätningar, vilket betyder att ekvation 4.27 fortfarande fungerar för att 

kombinera resultaten. 

Det viktade medelvärdet kan allts˚a användas för att att kombinera mätningar 

av en och samma storhet som har olika statistisk precision. Vikten 1 

σ2 innebär 

att om vissa fel är betydligt större än andra kommer de inte att p˚averka det viktade 

medelvärdet särskilt mycket. Om vi ska kombinera mätningar med olika 

systematiska osäkerheter är det viktade medelvärdet faktiskt ocks˚a en rimlig 

metod. Vi kan tänka oss att de systematiska osäkerheterna svarar mot en standardavvikelse 

i n˚agon mätning som vi inte har möjlighet att göra om. Ibland 

kanske detta är sant, ibland är felen inte alls s˚a väldefinierade. I det senare fallet 

är först˚as felet i det viktade medelvärdet inte väldefinierat heller. 

Om man bildar ett viktat medelvärde m˚aste man kontrollera att värdena 

inte avviker för mycket fr˚an varandra. Om t.ex. en mätning ger ga = (9,71 ± 

0,005)m/s2 och en annan ger gb = (9,82 ± 0,005)m/s2 skulle ett viktat medelvärde 

bli (9,765 ± 0,004)m/s2 . B˚ada värdena ligger l˚angt bortom felgränserna 

för medelvärdet, vilket betyder att felet är underskattat. Om vi bildar skillnaden 

mellan de tv˚a värdena och beräknar felet i den f˚ar vi gb−ga = (0,11±0,01)m/s 2 . 

Detta värde skiljer sig fr˚an noll med 11 g˚anger felintervallet (mer faktiskt, för 

felet är avrundat fr˚an 0,07m/s2 ).Allts˚a är de tv˚a mätningarna inte förenliga 

med varandra. Det m˚aste finnas n˚agot systematiskt fel som vi inte tagit hänsyn 

till. Innan vi kombinerar de tv˚a värdena m˚aste vi identifiera och uppskatta det 

systematiska felet. Om vi inte kan göra n˚agon meningsfull uppskattning av det 

m˚aste vi i alla fall avgöra vilket av de tv˚a oförenliga värdena vi väljer att lita 

p˚a. 

En annan sak att tänka p˚a när man bildar viktade medelvärden är att felen 

kan inneh˚alla gemensamma systematiska komponenter. Antag att vi vill 

bestämma g genom att släppa en kula fr˚an en ställning och mäta falltiden, och 

gör tv˚a mätserier med olika tidtagare. För varje s˚adan serie kan vi f˚a fram ett g, 

och felet kan vi f˚a genom att bestämma spridningen i tidtagningen och använda 

felpropagering, där ocks˚a felet i ställningens höjd kommer in. Om vi nu vill 

kombinera de tv˚a värdena p˚a g bidrar en och samma mätning av ställningens 

höjd till osäkerheten i b˚ada. Det gör att vi inte utan vidare kan bilda ett viktat 

medelvärde4 . Istället bör vi först helt strunta i felet i h och beräkna v˚art viktade 

medelvärde baserat p˚a de oberoende felen fr˚an tidsmätningarna. Vi kan göra 

om detta för olika värden p˚a h och allts˚a genom störningsräkning bestämma effekten 

av osäkerheten i h. Slutligen kan vi kvadratiskt addera osäkerheten fr˚an 

det viktade medelvärdet till osäkerheten fr˚an h enligt ekvation 3.6. Dessutom 

4 För att se att det inte fungerar kan vi tänka oss att vi lyckats bestämma falltiden s˚a 

exakt att det enda felet som betyder n˚agot är felet i höjden. Det betyder att de tv˚a värdena 

egentligen är ett och samma resultat eftersom vi använder samma värde för höjden. Om vi 

använder formel 4.26 kommer felet i detta resultat att minska med en faktor √ 2 utan att vi 

tillför n˚agon ny information. Detta är uppenbarligen nonsens.

4.6. NORMALFÖRDELNINGEN OCH CENTRALA GRÄNSVÄRDESSATSEN53 

bör man redovisa det systematiska felet fr˚an h-mätningen och det statistiska 

felet fr˚an tidsmätningarna var för sig. 

4.6 Normalfördelningen och centrala gränsvärdessatsen 

Vi har redan nämnt att normalfördelningen (gaussfördelningen) i ekvation 4.12 

är speciellt viktig: 

G(x|µ,σ) = 

1 

√ e 

2π σ 1 

2( x−µ 

σ ) 2 

Det beror p˚a att om vi adderar tv˚a oberoende variabler är det inte bara s˚a 

att varianserna adderas som i ekvation 4.22, dessutom blir summans fördelning 

mer lik en normalfördelning. Detta illustreras i Figur 4.8. Jag har genererat 

10000 

8000 

6000 

4000 

2000 

0 

0 0.5 1 

x 

20000 

17500 

15000 

12500 

10000 

7500 

5000 

2500 

0 

0 1 2 

x+y 

40000 

35000 

30000 

25000 

20000 

15000 

10000 

5000 

0 

0 1 2 3 

x+y+z 

Figur 4.8: Histogram över fördelningen av ett likformigt fördelat värde, samt 

summan av tv˚a resp. tre s˚adana värden som är oberoende. 

10 6 uppsättningar av tre värden (x,y,z) som alla är dragna ur en likformig 

sannolikhetsfördelning mellan noll och ett. Sedan har jag histogrammerat x, 

x + y och x + y + z. Fördelningen av en summa av tv˚a oberoende variabler 

dragna ur samma likformiga fördelning blir tydligen triangulär. Detta är ganska 

naturligt. För att f˚a värdet i mitten (1 i det här fallet, kan vi välja vilket värde 

som helst p˚a x, och sedan y = 1 − x, Men om vi ska f˚a summan 1,5 kan vi 

inte välja x under 0,5, för i s˚a fall finns det inga y som är stora nog. Om vi 

adderar den tredje variabeln, z, f˚ar vi som synes n˚agot som är tämligen likt en 

normalfördelning. 

Att en summa av oberoende termer blir (approximativt) normalfördelad kan 

sägas vara det viktigaste resultatet inom statistiken. Det uttrycks genom den 

centrala gränsvärdessatsen, som lyder: 

Summan N 

i=1 xi, där alla xi är dragna ur en och samma 

fördelning med ändlig varians och standardavvikelse, blir normalfördelad 

i gränsen N → ∞. 

Faktum är att kravet p˚a ”en och samma fördelning” kan ersättas med mycket 

mildare villkor, s˚a att även en summa där alla termer är dragna ur olika 

fördelningar blir normalfördelad i gränsen N → ∞. Figur 4.9 visar histogram 

av värden dragna ur tolv p˚a m˚af˚a valda fördelningar som är ganska olika. Om 

vi drar ett värde ur varje fördelning och adderar alla tolv f˚ar vi fördelningen i


20000 

15000 

10000 

5000 

0 

-2 0 

x1 2 

10000 

7500 

5000 

2500 

0 

-2 0 

x4 2 

15000 

10000 

5000 

0 

x 10 

10000 

5000 

0 

1 1.5 

x 7 

0 0.5 

x 10 

15000 

10000 

5000 

0 

6000 

4000 

2000 

0 

30000 

20000 

10000 

0 

40000 

30000 

20000 

10000 

0 

0 1 2 

x 2 

0 0.5 1 

x 5 

0 0.5 1 

x 8 

0 0.5 1 

x 11 

40000 

30000 

20000 

10000 

0 

10000 

7500 

5000 

2500 

0 

10000 

7500 

5000 

2500 

0 

x 10 2 

1500 

1000 

500 

0 

-2 0 2 

x 3 

-0.5 0 0.5 

x 6 

0 1 2 

x 9 

Figur 4.9: Histogram över tolv sannolikhetsfördelningar. 

1 1.5 2 

x 12 

Figur 4.10. Som synes är summans fördelning nära en normalfördelning. Lägg 

dock märke till att om vi t.ex. skulle lägga till en variabel dragen ur en likformig 

fördelning mellan 0 och 100 skulle den dominera, och summans fördelning skulle 

mest likna den likformiga. Det gäller att m˚anga variabler med ungefär samma 

spridning samverkar för att vi ska f˚a en normalfördelning, eller att den eller de 

termer som dominerar är normalfördelade. Om vi adderar variabler dragna ur 

olika normalfördelningar blir summan nämligen exakt normalfördelad 5 . 

Det är mycket ofta m˚anga olika variationer som bestämmer värdet av en 

storhet. Var och en av dem bidrar med en ändring av storhetens värde, och 

bidragen adderas. Detta gör att normalfördelade storheter är mycket vanliga. 

Antalet ton torsk som fiskas i november, till exempel, beror bland annat p˚a 

5 Detta följer ur centrala gränsvärdessatsen: Om vi har tv˚a normalfördelade variabler kan 

vi skriva var och en av dem som en summa där antalet termer g˚ar mot oändligheten. Summan 

av de tv˚a blir ocks˚a en s˚adan summa.

4.6. NORMALFÖRDELNINGEN OCH CENTRALA GRÄNSVÄRDESSATSEN55 

60000 

50000 

40000 

30000 

20000 

10000 

0 

-2 0 2 4 6 8 10 12 

Σ x i 

Figur 4.10: Fördelning av summan av tolv oberoende variabler, en fr˚an var och 

en av fördelningarna i Figur 4.9. Den streckade kurvan är en normalfördelning. 

oljepris, stormfrekvens, epidemier bland kustbefolkningen, torskens tillg˚ang till 

bytesfisk, motorhaverier, och efterfr˚agan bland konsumenterna. Var och en av 

dessa saker beror i sin tur p˚a m˚anga andra. Vi kan därför förvänta oss att 

mängden uppdragen torsk är ungefär normalfördelad. (Eller kanske inte änd˚a, 

eftersom den regleras av fiskekvoter som den inte till˚ats överskrida. Enda sättet 

att ta reda p˚a om en normalfördelning faktiskt är en god approximation är att 

samla in statistik över f˚angsterna.) 

Ett annat viktigt exempel är när vi gör en mätning. Om vi placerar en boll 

p˚a ett lutande plan och med tidtagarur mäter hur l˚ang tid det tar för den att 

rulla en viss sträcka f˚ar vi inte alltid samma tid. Det kan bero p˚a att vi r˚akar 

trycka vid fel tidpunkt därför att n˚agon sade n˚agot intressant, eller att vi höll 

huvudet lite snett s˚a att vi inte s˚ag bollens läge korrekt. Eller kanske vi trycker 

olika h˚art, och det p˚averkar klockan. Kanske placerar vi bollen lite olika l˚angt 

upp p˚a planet s˚a att den tar lite mer eller mindre tid p˚a sig än den borde. 

Kanske knäpper vi lite före eller efter att bollen släpps. S˚adana slumpmässiga 

fel adderas och det är rimligt att anta att v˚ara mätvärden kan beskrivas av en 

normalfördelning. 

Integralen µ+σ 

G(x|µ,σ)dx har värdet 0,683. Detta innebär att sanno- 

µ−σ 

likheten för att en normalfördelad variabel ska hamna inom ±σ fr˚an medelvärdet 

är 68,3%. Figur 4.11 illustrerar detta. Motsvarande sannolikheter för ±2σ och


±3σ är 95,5% och 99,7%. Eftersom normalfördelningen är s˚a fundamental 

f(x) 

1/(√2 ⎯ 

π σ) 

0 

68,3% 

μ-3σ μ-2σ μ-σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ 

95,5% 

99,7% 

Figur 4.11: En normalfördelning och sannolikhetsinneh˚all inom en, tv˚a, respektive 

tre standardavvikelser fr˚an medelvärdet. 

behöver man ganska ofta ta fram sannolikheten för att den ska ge ett värde 

i n˚agot visst intervall. Olyckligtvis kan integralen inte beräknas analytiskt, utan 

man f˚ar använda programbibliotek eller tabeller. Det räcker med en tabell för 

en standardnormal fördelning. Vill man t.ex. vet sannolikheten att f˚a ett värde 

lägre än µ + 0,2σ kan man g˚a in en s˚adan tabell och läsa av vid 0,2, vilket är 

µ + 0,2σ för den standardnormala fördelningen. (Man utnyttjar det faktum att 

z i ekvation 4.13 är standardnormal om x är normalfördelad med parametrarna 

µ och σ.) 

x

Kapitel 5 

Att uppskatta fel 

När man bestämmer n˚agon storhet genom att göra mätningar, eller genom 

beräkningar baserade p˚a andras mätningar, m˚aste man uppskatta osäkerheten i 

bestämningen. Det kan vara frestande att ta till ordentligt för att vara säker p˚a 

att inte underskatta felet. Om man har att välja mellan att underskatta osäkerheten 

eller att överskatta den är det rimligt att tänka s˚a, men det gäller att inte 

göra n˚agotdera utan istället uppskatta storleken av det typiska felet. 

Som ett absolut minimum kan man h˚alla reda p˚a antalet värdesiffror. Det är 

en grov metod, som ibland kan ge missvisande resultat. När det gäller värden 

n˚agon annan angett kan man vara hänvisad till att använda den, men det är 

inte alltid s˚a att antalet värdesiffror var menat som en indikation av hur stort 

det typiska felet är. Om en inomhusbassäng sägs vara 25m l˚ang skulle man nog 

bli förv˚anad om den vid kontrollmätning visade sig vara 24m (en avvikelse p˚a 

dubbla felet är normalt inte s˚a ovanlig. För en gaussfördelning är sannolikheten 

5 % att man hamnar utanför 2σ-intervallet). 

När det gäller värden man mäter upp själv m˚aste man göra uppskattningar 

av osäkerheten och använda dem när man sedan gör beräkningar. Det första 

man skall göra är att bekanta sig med mätinstrumentet och tänka igenom hur 

man bäst använder det för att f˚a s˚a precisa resultat som möjligt. Ju mindre 

osäkerheter desto bättre, förutsatt att de verkligen svarar mot det typiska felet. 

Använder man ett digitalt mätinstrument, som t.ex. en voltmeter f˚ar man 

ett värde med ett antal siffror. Här kan man ˚aterigen använda en halv enhet 

i sista siffran. Men att bygga en apparat som visar m˚anga siffror är enklare 

än att bygga en apparat där alla siffrorna är signifikanta. Därför är det inte 

givet att den sista siffran instrumentet visar betyder n˚agonting alls. Man bör 

kontrollera vad som st˚ar angivet om instrumentets precision eller kontrollmäta 

en känd storhet. Kanske har man tillg˚ang till olika typer av instrument och kan 

mäta samma storhet med flera olika. Man skall ocks˚a vara noga med att välja 

rätt mätomr˚ade (det g˚ar ofta att ställa in flera), s˚a att instrumentet levererar 

ett s˚a precist värde som möjligt. 

Om instrumentet fungerar idealt kommer värdet att avrundas till närmaste 

sista siffra. Det betyder att felet aldrig kommer att bli större än en halv enhet i 

sista siffran. En halv enhet i sista siffran ger allts˚a inte det typiska felet. Om vi 

mäter m˚anga olika spänningar med en ideal voltmeter kommer vi antagligen att 

f˚a ett fel som är slumpmässigt fördelat mellan −1 2D och +1 

2D där D är en enhet 

i sista siffran. Standardavvikelsen av en likformig fördelning mellan a och b (se 

57

58 KAPITEL 5. ATT UPPSKATTA FEL 

Figur 4.3) är σ = 1 

√ 12 (a−b) (kan visas genom att man utför integralen i ekvation 

4.7). Man kan allts˚a säga att det typiska felet när man tar närmaste sista siffra 

är D/ √ 12, vilket är ungefär en tredjedels enhet i sista siffran. Lägg dock märke 

till att vi antagit att man mäter ett stort antal slumpvisa spänningar. Mäter vi 

samma spänning flera g˚anger kommer vi att f˚a samma fel varje g˚ang (om allt 

är stabilt). Dessutom kanske instrumentet visar systematiskt fel, eller kanske är 

känsligt för störningar som gör att utslaget varierar. Att använda en halv enhet 

är ett rimligt recept, men inte det enda. 

Mäter man med ett instrument med skaldelar, som en analog visare, eller 

en tumstock, kan man antingen ta värdet vid närmaste skalstreck eller försöka 

skatta ett värde mellan skalstrecken. Det gäller att bedöma hur exakt man kan 

göra detta. Det kan vara olika sv˚art beroende p˚a hur fint indelad skalan är, hur 

sv˚art det är att mäta p˚a rätt ställe, hur fort avläsningen m˚aste göras, etc. 

Som redan sagts i avsnitt 4.4 är en bra metod för att uppskatta osäkerheten 

att göra flera mätningar, beräkna medelvärde x och standardavvikelse σx, samt 

uppskatta medelvärdets standardavvikelse 

σx = σx 

√N . 

Detta är osäkerheten när vi använder x som en uppskattning av den underliggande 

fördelningens medelvärde. (Jag har utelämnat ””, men b˚ada standardavvikelserna 

ovan är uppskattningar. För att uppskatta σx använder vi stickprovsstandardavvikelsen 

i ekvation 4.10.) Gör man detta m˚aste man försöka se 

till att de värden man mäter upp inte är systematiskt förskjutna fr˚an det sanna 

värdet. Troligtvis blir medelvärdet i fördelningen änd˚a inte exakt lika med det 

sanna värdet, och om bara N blir stort nog kommer detta systematiska fel att 

dominera över den statistiska osäkerheten σx. Man bör därför uppskatta ocks˚a 

den systematiska osäkerheten, eller i alla fall kontrollera att det är rimligt att 

den inte är större än spridningen i medelvärdet. 

Om man mäter flera g˚anger med ett digitalt instrument för att bestämma 

medelvärdet och dess standardavvikelse kan det hända att man bara f˚ar ett enda 

värde hela tiden. S˚a kan det bli om variationerna är mindre än en enhet i sista 

siffran. I s˚a fall kan man uppenbarligen inte beräkna n˚agon standardavvikelse, 

utan man är tvungen att använda en halv enhet i sista siffran (eller n˚agot 

s˚adant) som en uppskattning av osäkerheten. Det kan ocks˚a hända att man bara 

f˚ar tv˚a intilliggande värden. D˚a är det heller inte bra att använda medelvärdets 

standardavvikelse som en feluppskattning. Det finns nämligen en stor risk för 

att medelvärdet systematiskt avviker fr˚an det sanna värdet som en följd av 

avrundningen i instrumentet, och en s˚adan avvikelse minskar inte som 1 

√ N . Om 

instrumentet ger fler än tv˚a olika värden är det däremot rimligt att använda 

medelvärdets standardavvikelse.

Kapitel 6 

Parameteranpassningar 

I det här kapitlet behandlas metoder för att bestämma värden p˚a underliggande 

parametrar, som fysikaliska storheter, utifr˚an insamlade data. 

6.1 Maximum Likelihood-principen 

Antag att vi gör en mätning av en storhet vars sanna värde är µ. Antag ocks˚a att 

vi vet att v˚art mätresultat blir normalfördelat runt µ med standardavvikelsen σ. 

Vi kallar v˚art mätvärde för x. Hur ska vi uppskatta µ? Det är ganska naturligt 

att det enda rimliga är att använda uppskattningen 

µ = x . 

Normalfördelningen är ju symmetrisk runt µ, där den har ett maximum. Om 

det sanna µ skulle ligga flera σ fr˚an v˚art x har vi r˚akat ha en väldig otur som 

f˚att ett värde s˚a l˚angt ut i fördelningens svans. Eftersom σ är bestämt har 

normalfördelningen i det här fallet bara en parameter som vi är intresserade av: 

G(x|µ) = 

1 1 − 

√ e 2( 

2π σ x−µ 

σ ) 2 

och vi uppskattar µ som det värde som ger störst sannolikhet för värden i ett litet 

intervall vid x. Vi betraktar allts˚a G som en funktion av µ för fixt (observerat) 

x. Betraktad p˚a detta sätt brukar man kalla G för likelihoodfunktionen, och 

ibland använder man en annan symbol 

L(µ|x) = 

1 1 − 

√ e 2( 

2π σ x−µ 

σ ) 2 

Observera att detta inte är sannolikheten för µ givet v˚ar x-observation. Det 

sanna värdet är ett värde. Alla andra värden är fel. Man skulle kunna säga att 

de har sannolikheten noll. V˚art problem är att vi inte känner det sanna värdet 

och därför m˚aste jämföra olika värden för att bestämma vad vi ska gissa p˚a. 

Vi gissar allts˚a p˚a det värde som med störst sannolikhet skulle ge v˚art observerade 

värde 1 . Detta recept kallas för maximum likelihood-principen. Vi antar 

1 Egentligen det värde som ger störst sannolikhet för ett litet intervall runt v˚art värde. 

59

60 KAPITEL 6. PARAMETERANPASSNINGAR 

inte att det som hänt var det mest sannolika, men vi antar att det är s˚a sannolikt 

som möjligt. 

I exemplet med en gaussfördelning är det ganska självklart vilket värde 

man bör välja, men maximum likelihood-principen är, som vi kommer att se, 

användbar i väldigt m˚anga fall där det inte är lika uppenbart. Vi kan börja med 

att tänka oss att vi gör tv˚a mätningar istället för en enda och f˚ar värdena x1 

och x2. Vi vill välja det µ som ger störst sannolikhet för att det första värdet 

skall hamna i ett intervall dx1 vid x1 och det andra inom dx2 vid x2. Eftersom 

de tv˚a värdena är oberoende ges den sannolikheten av G(x1|µ)G(x2|µ)dx1 dx2 

(jämför avsnitt 4.4). Produkten G(x1|µ)G(x2|µ) är sannolikhetstätheten i tv˚a 

dimensioner, men den är ocks˚a likelihoodfunktionen som vi skall maximera med 

avseende p˚a µ: 

L(µ|x1,x2) = 1 1 

e− 2( 

2π σ2 x1−µ σ ) 2 1 − 

e 2( x2−µ σ ) 2 

(6.1) 

För att finna maximum deriverar vi med avseende p˚a µ och sätter derivatan till 

noll. Kedjeregeln ger 

dL 

dµ = 

 

(x1 − µ) 

σ2 + (x2 − µ) 

σ2 

L 

Och för att dL 

dµ 

ska bli noll m˚aste vi ha att 

µ = µ = x1 + x2 

2 

dvs. maximum likelihod-uppskattningen blir lika med medelvärdet av de tv˚a 

värdena. Om vi istället har N mätningar blir uppskattningen medelvärdet 

µ = 

i 

xi 

N 

, 

= x , (6.2) 

vilket är ett mycket rimligt resultat. 

Vi kan generalisera detta till det fall d˚a vi har olika precision i de olika 

mätningarna xi. Vi antar allts˚a att xi är normalfördelad runt µ med standardavvikelse 

σi. Nu blir L en produkt av faktorer med olika σ: 

L(µ|x1,...xN) = 

“ ” 

1 1 xi−µ 2 

− 2 σ √ e i . (6.3) 

2π σi 

Derivatan bli analog med tv˚avariabelfallet ovan, men med olika σi i de olika 

termerna, 

dL 

dµ = 

 

 

 

(xi − µ) 

L , 

och villkoret dL 

dµ = 0 ger 

i 

xi 

σ 2 i 

σ 2 i 

= µ 

Maximum likelihood-estimatet för µ blir allts˚a 

 

µ = 

i 

i 1 

σ2 xi 

i 

i 1 

σ2 i 

1 

σ 2 i 

. 

. (6.4)

6.1. MAXIMUM LIKELIHOOD-PRINCIPEN 61 

Vi känner igen detta som det viktade medelvärdet (ekvation 4.27). 

Som ytterligare ett exempel kan vi anta att vi väger mycket sm˚a mängder av 

n˚agon kemisk förening. Vi använder en precisionsv˚ag som innesluts i en glaskupa 

för att vi inte ska f˚a störningar fr˚an luftrörelser. Luften i labbet är mycket ren, 

men inneh˚aller änd˚a en del sm˚a partiklar. Om s˚adana partiklar r˚akar komma in i 

glaskupan och fastna p˚a v˚agen p˚averkar de utslaget s˚a att v˚art värde p˚a massan 

blir större. Genom att väga en mycket välbestämd referensmassa upprepade 

g˚anger kan vi kalibrera v˚agen s˚a att värdet x som den ger i medeltal blir lika 

med den sanna massan µ om vi mäter flera g˚anger. Vi kan ocks˚a bestämma 

sannolikhetstätheten för x med den kalibrerade v˚agen. Den kanske ser ut som 

i Figur 6.1. Nu är fr˚agan vilken v˚ar bästa uppskattning blir för µ om vi mäter 

f(x) 

0 

μ 

Figur 6.1: Fördelning av utslag x fr˚an en v˚ag kalibrerad s˚a att medelvärdet 

av x blir det sanna värdet µ. Det mest sannolika värdet (typvärdet) är lägre än 

medelvärdet. 

p˚a ett prov och f˚ar resultatet x1. Enligt maximum likelihood-principen skall 

vi välja den massa µ som ger den största sannolikheten vid x1. Detta blir en 

massa som är lite större än x1. Vi kan skriva µ = x1 + ∆ där ∆ är skillnaden 

mellan medelvärdet och typvärdet (avst˚andet mellan det tv˚a vertikala linjerna i 

figuren). Om vi mäter m˚anga g˚anger kommer medelvärdet av v˚ara x-värden att 

närma sig fördelningens medelvärde µ (den sanna massan), men medelvärdet 

av v˚ara resultat för µ gör allts˚a inte det. I det här fallet är det bättre att välja 

µ = x1 än att använda maximum likelihood-principen. Lägg dock märke till 

att om vi gör m˚anga mätningar av samma massa kan vi bestämma ett µ fr˚an 

den kombinerade likelihoodfunktionen (produkten av sannolikhetstätheterna för 

alla värdena). Detta värde kommer att närma sig det sanna värdet när vi ökar 

antalet mätningar. 

Nu kanske det verkar som om maximum likelihood-principen bara är ett 

sätt att p˚a bästa sätt bilda medelvärdet av ett antal mätningar, men s˚a är det 

inte. Sannolikhetstätheten för x kanske beror p˚a flera olika parametrar, och det 

kanske inte är s˚a att n˚agot särskilt värde p˚a x är rätt. Gör vi flera mätningar 

av x kan vi bestämma parametrarna i sannolikhetsfördelningen med hjälp av 

maximum likelihood-metoden. Dessa parametrar kanske är fysikaliska storheter, 

x


och resultatet blir d˚a värden p˚a de bakomliggande storheterna. 

Som ett enkelt exempel p˚a flera parametrar kan vi tänka oss att vi drar ett 

antal värden ur en fördelning som vi vet (eller antar) är en normalfördelning. Vi 

vill bestämma b˚ade µ och σ. V˚ar likelihoodfunktion L(µ,σ|x1,x2,...xN) v˚ar vi 

p˚a samma sätt som ekvation 6.1, 

L(µ|x1,x2 ...xN) = 

1 

(2π) N 

2 σ 

N e− 1 

2( x1−µ σ ) 2 1 − 

e 2( x2−µ σ ) 2 1 − 

...e 2( xN −µ 

σ ) 2 

men nu känner vi inte σ, utan m˚aste betrakta olika värden. Vi söker allts˚a det 

= 0. 

par av värden (µ,σ) som maximerar L. Det kännetecknas av att ∂L 

∂µ 

= ∂L 

∂σ 

Som förut ger villkoret ∂L 

∂µ = 0 att µ = x. Deriverar man med avseende p˚a σ 

och sätter derivatan till noll f˚ar man att 

σ 2 = 

 

i (xi − µ) 2 

N 

Vid v˚art maximum är µ = µ = x, och allts˚a 

 

i σ = σ = 

(xi − x) 2 

N 

Vi ser att uppskattningen σ blir noll om vi bara har en mätning, och att den 

systematiskt underskattar standardavvikelsen för sm˚a N. (Jämför ekvationerna 

4.9 och 4.10.) 

De uppskattningar vi f˚ar med maximum likelihood-metoden kan allts˚a ha en 

systematisk avvikelse fr˚an det sanna värdet för f˚a mätningar. Däremot gäller att 

för m˚anga mätningar närmar de sig det sanna värdet. Dessutom är de bäst i den 

meningen att de har den minsta möjliga spridningen. Det kanske kan kännas 

naturligt eftersom de bygger p˚a all information vi har. För givna parametrar 

vet vi hur sannolika olika värden är (men inte mer), och har vi gjort ett antal 

oberoende mätningar är det enda vi kan göra för var och en av dem att se efter 

hur sannolikt det vore att f˚a ett värde just där. 

Metoden är ocks˚a mer allmän i den meningen att det kan tillämpas om vi 

har flera sannolikhetstätheter. Vi kanske har en fysikalisk modell med ett antal 

parametrar som vi vill bestämma. Om vi tillämpar modellen p˚a olika försök 

förutsäger den olika saker. Vi kanske gör N mätningar av x i ett försök och M 

mätningar av y i ett annat. Sannolikheten för v˚ara mätta värden 

xi;i = 1,N, yj;j = 1,M ges av 

L = 

N M 

f(xi) g(yj) , 

i=1 

där f och g är sannolikhetstätheter som b˚ada beror p˚a parametrarna i modellen. 

I detta fall säger allts˚a maximum likelihood-principen att vi ska välja de 

parametrar som maximerar produkten av alla f och g-värden. 

j=1 

6.2 Minsta kvadratmetoden 

Antag att vi har en teori som förutsäger ett antal storheter (värden) som kan 

mätas, och att vi mäter dem. Mätningarna kanske är olika sv˚ara, och därför 

,

6.2. MINSTA KVADRATMETODEN 63 

behäftade med olika fel. Om teorin är fix och färdig kan vi direkt undersöka 

om mätresultaten stämmer med vad den förutsäger (mer om detta senare). 

Men om en del av de storheter som definierar teorin, dess parametrar, inte är 

kända kan vi istället använda v˚ara mätresultat för att bestämma dem. Vi söker 

allts˚a de parametervärden som ger s˚a god överensstämmelse med v˚ara data 

som möjligt. För att bestämma hur vi ska g˚a tillväga använder vi maximum 

likelihood-metoden. 

L˚at oss kalla antalet mätpunkter för N, och de olika mätvärdena för yi,i = 

1,N (lägg märke till att olika yi svarar mot olika mätpunkter och allts˚a inte 

kan anses dragna ur en och samma fördelning). V˚ar teori förutsäger ett värde, 

fi för varje mätning. Vi betecknar felet i mätning i med σi och antar att yi är 

normalfördelat runt fi med standardavvikelsen σi. Med andra ord är värdet yi 

draget ur fördelningen 

G(y|fi,σi) = 

1 

√ e 

2πσi 

“ ” 

1 y−fi 2 

− 2 σi Likelihoodfunktionen blir produkten av sannolikhetstätheterna vid de observerade 

värdena yi: 

1 

L = 

(2π) N/2 

 

“ ” 

 

1 1 yi−f 2 P “ ” 

− i 

1 1 yi−f 2 

2 σ − i 

i 

2 i σ = 

e i . 

i 

e 

σi 

1 

(2π) N/2 

 

 

k 

(Index k har införts eftersom produkten över exponentialfunktioner ersatts av 

en summa i exponenten). Vi skall maximera detta genom att ändra p˚a modellens 

parametrar s˚a att fi ändras. Uppenbarligen m˚aste vi minimera summan 

χ 2 = 

 

yi − fi 

i 

σi 

2 

σk 

. 

. (6.5) 

Denna typ av anpassning kallas en minsta kvadratanpassning eftersom vi väljer 

den uppsättning fi som ger den minsta summan av kvadratiska termer. Om vi 

kunde välja alla fi oberoende av varandra skulle vi naturligtvis välja fi = yi, 

vilket skulle ge summan noll. Det kan l˚ata som att vi d˚a lyckats bra, men det 

är snarare tvärtom. I bästa fall har vi precis s˚a m˚anga mätningar att vi kan f˚a 

bestämda värden p˚a alla parametrarna. Annars har vi för f˚a värden, och f˚ar d˚a 

ingen unik lösning för parametrarna. Har vi färre parametrar än mätningar kan 

vi inte välja alla fi oberoende av varandra, utan m˚aste hitta de parametrar som 

minimerar ekvation 6.5. 

Minsta kvadratametoden är mycket allmän och mycket användbar. Det enklaste 

exemplet är om vi gör flera mätningar av en och samma storhet. V˚ar 

”teori” har d˚a en parameter som vi lämpligen väljer som det sanna värdet µ 

av storheten i fr˚aga. Vi har redan sett att i detta fall blir uppskattningen som 

maximum likelihood-principen ger det viktade medelvärdet, om felen är normalfördelade. 

Vi s˚ag ju just att för normalfördelade fel maximeras likelihoodfunktionen 

om vi minimerar kvadratsumman. Det viktade medelvärdet är allts˚a 

ocks˚a vad minsta kvadratmetoden ger för v˚ara mätningar, nämligen det värde 

p˚a µ som minimerar summan 6.5 för fi = µ. 

I det allmänna fallet m˚aste man ta till iterativa metoder som letar efter 

det minsta värdet p˚a summan i ekvation 6.5, men om modellen är linjär i


parametrarna kan problemet lösas exakt. Vi har d˚a 

fi = 

n 

k=1 

Xikak 

(6.6) 

där Xik är en uppsättning konstanter och ak är modellens n parametrar. Vi 

inför nu matriserna 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

⎜ 

Y = ⎜ 

⎝ 

y1 

y2 

. 

yN 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ , F = ⎜ 

⎠ ⎝ 

f1 

f2 

. 

fN 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ , A = ⎜ 

⎠ ⎝ 

och kan skriva ekvation 6.6 p˚a matrisform som 

a1 

a2 

. 

an 

F = XA . 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ , X = ⎜ 

⎠ ⎝ 

Om vi dessutom inför en matris som har varianserna p˚a diagonalen, 

⎛ 

⎞ 

blir dess invers V−1 ⎜ 

= ⎜ 

⎝ 

⎜ 

V = ⎜ 

⎝ 

⎛ 

σ2 1 0 ... 0 

0 σ2 2 ... 0 

. 

1 

σ2 1 

1 0 σ2 2 

. 

. 

. .. 0 

0 0 ... σ 2 N 

0 ... 0 

... 0 

. 

. .. 

0 

0 0 ... 1 

σ 2 N 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

X11 X12 ... X1N 

X21 X22 ... X2N 

. 

. 

. .. X2N 

Xn1 Xn2 ... XnN 

, (6.7) 

⎟ 

⎟, 

och vi kan uttrycka kvadrat- 

⎠ 

summan som en kvadratisk form (T betecknar transponering): 

χ 2 = (Y − F) T V −1 (Y − F) . (6.8) 

(Utskrivet p˚a komponentform blir detta: χ2 = 

i (yi − fi) 1 

σ2 (yi − fi)) Vi vill 

i 

nu derivera detta med avseende p˚a parametrarna ak och sätta derivatorna till 

noll för finna de värden p˚a ak som svarar mot ett minimum for χ2 . Vi använder 

kedjeregeln och f˚ar 

∂χ 2 

∂ak = 

 

− ∂F 

T V 

∂ak 

−1 (Y − F) + (Y − F) T V −1 

 

− ∂F 

 

∂ak 

eftersom s˚aväl Y som V −1 är oberoende av ak. Derivatan ∂F 

∂ak 

(6.9) 

är en kolonnmatris 

med element ∂fi 

∂ak = Xik. De tv˚a termerna i ekvation 6.9 har samma värde (detta 

kan inses fr˚an komponentformen eller fr˚an att b˚ada är 1 × 1 matriser och allts˚a 

lika med sina transponat). De m˚aste allts˚a b˚ada vara noll. Sätter vi den första 

till noll och delar upp den i tv˚a termer f˚ar vi 

T ∂F 

V −1 T ∂F 

F = V −1 Y . 

∂ak 

∂ak 

⎞ 

⎟ 

⎠ ,


Skriver vi ut komponenterna i ∂F 

∂ak 

har vi 

(X1k X2k ... XNk) V −1 F = (X1k X2k ... XNk) V −1 Y . 

Det är samma radmatris (X1k X2k ... XNk) i vänster- och högerledet, och den 

multiplicerar en N ×N matris p˚a vardera sidan. Resultatet blir p˚a b˚ada sidorna 

en radmatris. Matrisen (X1k X2k ... XNk ) är rad k i den transponerade 

matrisen X T . Vi f˚ar en ekvation för varje rad, och kan sammanfatta dem som 

en matrisekvation. Efter insättning av F = XA blir den ekvationen 

X T V −1 X A = X T V −1 Y . 

Nu kan vi invertera matrisen som multiplicerar A och multiplicera med den fr˚an 

vänster p˚a b˚ada sidorna, vilket ger resultatet 

A = X T V −1 X −1 X T V −1 Y . (6.10) 

Detta uttryck ger allts˚a de parametrar ak som minimerar kvadratsumman i 

ekvation 6.5. Det kan se lite komplicerat ut att tillämpa i praktiken, men om 

beräkningarna utförs p˚a dator, vilket är det vanliga, kan man utnyttja programspr˚ak 

eller färdiga funktioner som till˚ater matrisoperationer. Har man väl läst 

in sina data i matriser, vilket hur som helst är naturligt, är själva räknandet 

mycket enkelt att koda. 

Ekvation 6.10 ger oss allts˚a värdena p˚a parametrarna. För att f˚a felen 

m˚aste man göra en felpropagering fr˚an Y till A. Om vi inför matrisen R = 

X T V −1 X −1 X T V −1 har vi att A = RY. För en komponent av kolonnmatrisen 

A kan vi skriva detta som 

ak = 

i 

Rkiyi , 

och sedan gäller det bara att propagera osäkerheterna i yi, som ju är σi: 

σak = 

 

 

R2 kiσ2 i , 

i 

Nu är matrisuttrycket för R lite komplicerat, s˚a att beräkna ovanst˚aende kräver 

en hel del t˚alamod och noggrannhet (eller en mer ing˚aende diskussion). Här 

konstaterar vi bara att varianserna σ2 ak visar sig vara diagonalelementen i matrisen 

Va = X T V −1 X −1 

, (6.11) 

som vi kallar variansmatrisen för parametrarna. Lägg märke till att denna matris 

är en del i uttrycket för A och att det allts˚a inte krävs n˚agra extra räkningar 

för att ta fram felen. 

6.2.1 Funktionsanpassningar med minsta kvadratmetoden 

Minsta kvadratmetoden är mycket allmän, och de olika fi kan vara helt olika 

storheter som vi mäter, och som v˚ar teori ger värden för. Det vanligaste är dock 

att fi är funktionsvärden i olika punkter: 

fi = f(xi)


Vi tänker oss att en storhet y beror p˚a en annan storhet x genom ett funktionssamband 

som vi vill bestämma (och som är v˚ar ”teori”): 

y = f(x) 

Vi mäter y för ett antal olika värden p˚a x och vill allts˚a minimera 

χ 2 = 

2 yi − f(xi) 

. 

i 

Om f(x) är en linjärkombination av n p˚a förhand bestämda funktioner, 

f(x) = 

σi 

n 

akfk(x) , 

k=1 

s˚a har vi ett linjärt problem av det slaget som leder till lösningen för parametrarna 

ak i ekvation 6.10. Jämför vi med ekvation 6.6 ser vi att 

Xik = fk(xi) 

i det här fallet. Tillsammans med mätningarna yi och deras osäkerheter σi ger 

Xik lösningen för parametrarna ak enligt ekvation 6.10. (Lägg märke till att det 

inte gör n˚agon skillnad alls för problemets lösning om f är en funktion av fler 

än en variabel, s˚a att vi har xi = (xi,1,xi,2 ...) istället för xi.) 

Ett viktigt specialfall är anpassningen av ett polynom 

I detta fall ges matrisen X av 

⎛ 

f(x) = a0 + a1x + a2x 2 + ...anx n 

⎜ 

X = ⎜ 

⎝ 

1 x1 x2 1 ... xn 1 

1 x2 x2 2 ... xn 2 

. 

. 

. 

. .. 

. 

1 xN x 2 N ... xn N 

⎞ 

. 

⎟ 

⎠ . 

Vi skall nu titta lite närmare p˚a ett specialfall av polynomanpassning, nämligen 

en linjär minsta kvadratanpassning av en rät linje p˚a formen y = a + bx (vi 

använder beteckningarna a och b istället för a1 och a2). I detta fall beror allts˚a 

f(x) linjärt p˚a b˚ade parametrarna och x. Vi tänker oss allts˚a att vi har en 

uppsättning mätpunkter yi ± σi för olika xi och söker den räta linje som bäst 

ansluter sig till punkterna. I detta fall har vi 

⎛ ⎞ 

1 x1 

⎜ 1 x2 ⎟ 

X = ⎜ . 

⎝ . 

. 

. 

. 

⎟ 

. ⎠ 

1 xN 

,V−1 ⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

w1 0 ... 0 

y1 

⎜ 0 w2 ... 0 ⎟ ⎜ y2 ⎟ 

⎟ ⎜ ⎟ 

= ⎜ . 

⎝ . 

. 

. 

. . 

. 

.. 

⎟ ,Y = ⎜ . 

0 ⎠ ⎝ . 

⎟ 

. ⎠ 

0 0 ... wN 

, 

är vikten av mätningen i (jämför viktat medelvärde). Vi kan 

beräkna matrisprodukten i ekvation 6.11: 

X T V −1 

1 1 ... 1 

X = 

x1 x2 ... xN 

⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

w1 

1 x1 

⎜ 

⎝ 

. .. 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝ . 

. 

⎟ 

. ⎠ , 

1 xN 

där wi = 1 

σ 2 i 

wN 

yN


som blir 

X T V −1 

wi 

X = 

wixi 

wixi 

wix 2 i 

Ekvation 6.11 ger, tillsammans med formeln för inversen av en matris, att 

Va = X T V −1 X −1 1 

= 

( w) ( wx2 ) − ( wx) 2 

2 wx − wx 

− wx 

w 

där summationsindex är underförst˚adda. 

Varianserna i a och b är diagonalelementen i Va, och vi kan skriva dem som 

2 wx 

σ 2 a = 

σ 2 b = 

 

∆ 

w 

∆ 

 

. 

, (6.12) 

där vi infört ∆ = ( w) wx2 − ( wx) 2 . Nu vet vi allts˚a felen i v˚ara 

uppskattningar av parametrarna a och b, men vi har ännu inte tagit fram uppskattningarna 

själva. Enligt ekvation 6.10 är de 

 

a 

= VaX 

b 

T V −1 Y . 

Vi känner redan variansmatrisen Va, som vi m˚aste multiplicera med 

X T V −1 

1 

Y = 

... 1 

⎛ 

w1 

⎜ 

⎝ 

. .. 

⎞ ⎛ 

y1 

⎟ ⎜ . 

⎠ ⎝ . 

⎞ 

 

⎟ wy 

⎠ = 

wxy 

x1 ... xN 

Vi f˚ar allts˚a 

 

a 

= 

b 

1 

2 wx 

∆ − 

 

− wx 

wx 

 

wy 

= 

w wxy 

 

1 

2 ( wy)( wx ) − ( wx)( wxy) 

∆ ( w)( wxy) − ( wx)( wy) 

För att sammanfatta har vi allts˚a anpassat parametrarna för den räta linjen, 

med fel, som 

och 

med 

wN 

yN 

a = ( wy)( wx2 ) − ( wx)( wxy) 

 

∆ 

wx2 σa = 

∆ 

 

, 

(6.13) 

b = ( w)( wxy) − ( wx)( wy) 

 

∆ 

w 

σb = 

, (6.14) 

∆ 

∆ = 

 

2 

w wx 2 − wx 

. (6.15)


Dessa formler för en anpassning till en rät linje kan vara användbara istället för 

ekvationerna 6.10 och 6.11 när man räknar för hand eller med ett spreadsheetprogram 

av type OpenOffice Calc eller Excel. Man beräknar summorna 

w, 

2 wx, wy, wx och wxy över alla mätpunkter och sätter in dem i 

formlerna ovan 

Vi visade aldrig att diagonaltermerna i ekvation 6.11 är varianserna i de 

anpassade parametrarna. Vi ska nu göra det för ett specialfall, nämligen för 

osäkerheten i b. Felet i ekvation 6.14 fick vi fr˚an diagonalelementet i Va, och vi 

visar nu att felfortplantning i uttrycket för b ger samma resultat. De osäkerheter 

som vi ska propagera är σi, osäkerheterna i v˚ara mätvärden yi. Felfortplantningsformeln 

(ekvation 3.7) blir 

σ 2 b = ∂b 

∂yi 

2 

σ 2 i 

Vi m˚aste derivera uttrycket för b i ekvationerna 6.14 med avseende p˚a vart 

och ett av mätvärdena. Varje yi finns i en term i summan wxy och en term 

i wy. Derivatan av de tv˚a summorna med avseende p˚a yi blir allts˚a wixi 

respektive wi. Vi f˚ar 

Eftersom wi = 1 

σ 2 i 

σ 2 b = ∂b 

∂b 

∂yi 

1 

 

= w wixi − wx wi 

∆ 

f˚ar vi (vi bryter ut wi ur parentesen ovan innan vi kvadrerar) 

∂yi 

2 

σ 2 i = 1 

∆ 2 

 

i 

w 2 i 

Vi förkortar med wi och utvecklar kvadraten: 

σ 2 b = 1 

∆ 2 

 

i 

wi 

2 1 

w xi − wx 

wi 

2 w x 2 2 

i + wx − 2 w wx xi 

1 

∆2 2 

w wix 2 2 

i + wi wx − 2 w wx wixi 

 

Nu stryker vi summationsindex i och l˚ater det bli underförst˚att som i de övriga 

summorna inom parentes. Vi f˚ar 

σ 2 b = 1 

∆2 2 

2 

w wx 

2 w 

− w wx = , 

∆ 

där vi använt uttrycket för ∆ (ekvation 6.15). Vi har allts˚a explicit visat att σb 

ges av den andra av ekvationerna 6.14. Motsvarande räkning för σa är likartad. 

6.2.2 Residualer och pulls 

Figur 6.2 visar resultatet av en linjär minsta kvadratanpassning av ett andragradspolynom 

y = f(x) = a+bx+cx 2 till en uppsättning mätvärden yi. När man 

gjort en s˚adan anpassning bör man bedöma om resultatet är rimligt. Kanske 

ger den anpassade funktionen ingen god beskrivning av sambandet, s˚a att den 

avviker fr˚an punkterna, eller kanske n˚agra punkter har r˚akat bli mer fel än vad 

. 

= 

.


man skulle vänta sig. Anledningen skulle kunna vara ett skriv- eller räknefel, 

eller n˚agon tillfällig systematisk effekt som p˚averkat vissa mätningar. Genom att 

titta p˚a figur 6.2 kan vi se att vi inte verkar ha haft n˚agra s˚adan problem i det här 

fallet. Om mätresultaten beskrivs av en normalfördelning borde ju punkternas 

y 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

0 5 10 15 20 25 30 

x 

Figur 6.2: Uppmätta värden p˚a y för olika x och en anpassad andragradskurva. 

avvikelser fr˚an kurvan, yi − f(xi), vara normalfördelade med standardavvikelse 

σi. Punkterna sprider sig mycket riktigt runt kurvan p˚a ett sätt som ser ut 

att svara mot felstaplarna. Vi kan kontrollera detta lite mer kvantititivt genom 

införa 

zi = yi − f(xi) 

σi 

för varje punkt. Om yi är fördelade som vi antagit ska alla zi ha den standardnormala 

fördelningen, med medelvärde noll och standardavvikelse ett. (Egentligen 

bör spridningen bli lite mindre än s˚a eftersom vi jämför med f-värden som vi 

anpassat till v˚ara punkter, inte de sanna f-värdena. Vi ˚aterkommer till detta 

i avsnitt 9.3, det spelar inte s˚a stor roll här.) Vi kan beräkna medelvärde och 

standardavvikelse för de 14 punkterna i figur 6.2 och finner att de är 0,05 respektive 

0,74. Felet i medelvärdet blir 0,74/ √ 14 = 0,20, s˚a vi ser ingen signifikant 

avvikelse fr˚an noll. Möjligen skulle vi kunna oroa oss en aning för att standardavvikelsen 

0,74 är mindre än ett2 . Vi kan ocks˚a histogrammera z-värdena, 

vilket ger fördelningen i figur 6.3. De normerade avvikelserna zi kallas med ett 

engelskt ord för ”pulls”. Beteckningen ”pull” kommer förmodligen fr˚an det faktum 

att om en punkt har ett zi som skiljer sig markant fr˚an noll ”drar” den i 

anpassningen. Eftersom z 2 i 

ing˚ar i summan som minimeras vinner man mycket 

p˚a att minska zi lite grann om zi är stor. Om n˚agot enstaka värde har ett stort 

zi p˚averkar det allts˚a anpassningen kraftigt. Det kan ocks˚a tyda p˚a att just den 

mätningen misslyckats p˚a n˚agot sätt. 

Man kan eventuellt utesluta värden som avviker för mycket. Det är dock 

n˚agot man bör vara mycket försiktig med, s˚a att man inte p˚a ett subjektivt sätt 

2 Man kan uppskatta felet i den uppskattade standardavvikelsen. Det är 0,13 i det här fallet, 

s˚a avvikelsen fr˚an ett är ganska exakt tv˚a sigma.


antal punkter 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 

(y − f) / σ 

Figur 6.3: Histogram över pull-värdena, zi = yi−f(xi) 

. Figuren visar ocks˚a en 

σi 

standardnormal fördelning (omskalad s˚a att ytan under den blir densamma som 

under histogrammet). 

tar bort vissa statistiska fluktuationer men inte andra. Det finns en tumregel 

för att göra detta som kallas Chauvenets regel. Den säger att man kan ta bort 

punkter med stora z om vi i medeltal förväntar oss att färre än en halv av v˚ara 

mätpunkter ska ha lika stort eller större z. Regeln är dock tämligen godtycklig, 

och ganska tveksam. Man bör i alla händelser först försöka se om man kan 

identifiera n˚agot problem med mätvärdet i fr˚aga, och helst korrigera det. Att 

göra om mätningar som ligger vid sidan om är inte heller lämpligt, eftersom det 

i praktiken innebär att man tar bort avvikande värden. 

Figur 6.4 visar en annan mätserie för x och y, och motsvarande anpassade 

andragradsfunktion. Här ser man direkt att överensstämmelsen är sämre. 

y 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

0 5 10 15 20 25 30 

x 

Figur 6.4: En konkurrerande forskargrupps resultat för sambandet i figur 6.2.


För höga x verkar det OK, men för l˚aga x sprider sig punkterna för mycket. 

Pullfördelningen ges i figur 6.5, och vi ser att det finns en punkt som avviker fr˚an 

anpassningen med mer än fyra sigma. För att vi ska se avvikelserna lite tydligare 

antal punkter 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 

(y − f) / σ 

Figur 6.5: Pullfördelningen för anpassningen i Figur 6.4. 

kan det vara lämpligt med en residualplot. Vi plottar skillnaderna yi − fi mot 

x, som i Figur 6.6. Felen i plotten är felen i y-värdena (i avsnitt 6.2.3 beskrivs 

hur man kan ta hänsyn till fel i f). Fr˚an Figur 6.6 framg˚ar att punkten som har 

y − f(x) 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

0 5 10 15 20 25 30 

x 

Figur 6.6: En residualplot för anpassningen i figur 6.4. 

x ≈ 11 är den som har den stora avvikelsen i pullfördelningen. Om vi upptäcker 

att n˚agot är fel med den mätningen kan det vara motiverat att ta bort den. 

Dessutom skulle Chauvenets regel l˚ata oss ta bort den: Sannolikheten för att en 

normalfördelning ska ge en avvikelse mer än fyra sigma är 1,3 · 10 −4 , s˚a med 14 

punkter kommer i medeltal 14 · 1,3 · 10 −4 = 0,002 att ha ett z som är större än 

s˚a (gör vi om mätserien 1000 g˚anger förväntar vi oss tv˚a s˚adana punkter).


Figur 6.7 visar anpassningen efter att vi tagit bort den tveksamma punkten. 

Lägg märke till att eftersom vi tog bort punkten som ”drog” i anpassningen 

blir pull-värdena mindre för övriga punkter. Nu ser det mycket bättre ut, men 

punkterna i den vänstra delen av figuren ser fortfarande ut att vara lite väl 

spridda. Sju punkter i rad avviker mer än en sigma. I genomsnitt förväntas 

ju tv˚a av tre punkter att ligga inom en sigma. Pullfördelningen har ocks˚a en 

standardavvikelse som är lite större än ett (1,21). 

y − f(x) 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

0 5 10 15 20 25 30 

x 

Figur 6.7: En residualplot för en anpassning där en av punkterna i figur 6.4 

tagits bort. 

6.2.3 Ekvivalenta fel 

I summan som vi minimerar med minsta kvadratmetoden, 

χ 2 = 

 

yi − fi 

i 

är σi felet (osäkerheten egentligen) i mätningen av yi, och fi är värdet modellen 

ger. Men kanske kan vi inte exakt bestämma de fi som en viss uppsättning 

parametrar i modellen skulle ge upphov till. Det är d˚a naturligt att använda 

osäkerheten i yi − fi istället för i yi, dvs vi använder 

σi = 

σi 

2 

 

σ 2 yi + σ2 fi 

, 

(6.16) 

där σyi och σfi är osäkerheterna yi respektive fi. Vi kan se det som att vi lägger 

till en extra osäkerhet i mätningen av yi och sedan tillämpar precis samma metod 

som förut. Denna extra osäkerhet kan vi kalla den ekvivalenta osäkerheten i y 

som svarar mot osäkerheten i fi. 

Den vanligaste orsaken till att vi f˚ar en osäkerhet i fi är att vi inte lyckas 

kontrollera exakt vad vi mäter när bestämmer yi. Vi kanske mäter p˚a lite 

fel ställe, eller om vi mäter värmeutvecklingen i en förbränning kanske vi inte


lyckas ˚astadkomma riktigt rätt blandning innan vi tänder p˚a. Om det gäller en 

funktionsanpassning till 

y = f(x) 

f˚ar vi allts˚a fel i v˚ara x-värden, inte bara i y. Kvadraten av osäkerheten i f = 

f(x) blir σ 2 f = 

df 

dx 

2 

σ 2 x, och ekvation 6.16 kan skrivas 

 

σi = σ2 yi + 

 

df 

 

 

σ 

dx xi 

2 xi . (6.17) 

Eftersom vi inte känner f fr˚an början kan vi inte bestämma det ekvivalenta 

felet fr˚an x-mätningen, σf, direkt. Istället f˚ar vi först göra en anpassning utan 

att ta hänsyn till x-felen, och sedan använda v˚art resultat för f i ekvation 6.17. 

Om vi har stora fel i x s˚a att resultatet ändras en hel del kanske vi bör upprepa 

proceduren. För en linjär anpassning till y = a + bx är df 

= b en konstant, och 

det totala felet blir 

σi = 

 

σ 2 yi + bσ2 xi . 

6.2.4 Oviktade minsta kvadratanpassningar 

Ibland kan det hända att man har ett antal sammanhörande värden (x,y) som 

helt saknar feluppskattningar, men änd˚a behöver man anpassa ett funktionssamband. 

I s˚a fall är det rimligt att anta att alla mätningar har samma osäkerhet, 

dvs. samma vikt. Vi kallar en s˚adan anpassning för oviktad. Det g˚ar dock inte 

utan vidare att minimera 

χ 2 = 

2 yi − fi 

, 

σ 

i 

eftersom vi inte har n˚agot värde p˚a σ. Observera dock att om vi multiplicerar σ 

med ett tal kommer summan helt enkelt att divideras med det talet i kvadrat. 

De parametervärden som maximerar summan blir allts˚a desamma. Vi väljer 

därför lämpligen att sätta alla osäkerheter till ett och minimera summan 

χ 2 = 

(yi − fi) 2 

. 

i 

Resultatet för en anpassning till en rät linje kan vi allts˚a f˚a genom att sätta in 

wi = 1 i ekvationerna 6.13 och 6.14: 

a = ( y)( x 2 ) − ( x)( xy) 

N( x 2 ) − ( x) 2 

b = N( xy) − ( x)( y) 

N( x 2 ) − ( x) 2 

Vill vi bestämma osäkerheterna i a och b m˚aste vi först˚as ha en uppskattning av 

osäkerheten i mätningarna. Vi kan ta fram en s˚adan genom att titta p˚a värdet 

av χ 2 för v˚ara anpassade parametrar. Om yi är normalfördelade runt fi med 

standardavvikelsen σ skall ju termerna i χ 2 -summan (beräknade för de sanna 

värdena p˚a fi) typiskt ha storleken ett. Vi ˚aterkommer till detta i avsnitt 9.3. 

dx

74 KAPITEL 6. PARAMETERANPASSNINGAR

Kapitel 7 

Histogram och 

poissonfördelade variabler 

I avsnitt 4.1 s˚ag vi hur man kan histogrammera data för att f˚a en uppfattning 

om hur den bakomliggande fördelningen ser ut. I det här kapitlet ska vi titta 

lite närmare p˚a hur man tolkar data samlade i histogramform. Eftersom antalet 

utfall i varje bin i ett histogram är ett heltal 1 behöver vi ocks˚a först˚a lite grann 

om diskreta fördelning (allts˚a s˚adana som gäller sannolikheter för olika heltal 

istället för en sannolikhetstäthet). 

För att blir lite konkreta tänker vi oss att vi mäter livstiden hos en radioaktiv 

isotop. Vi använder en avancerad apparatur som l˚ater oss mäta tiden fr˚an att 

en atom av ämnet bildats till det att den sönderfaller. Vi gör 1000 mätningar 

och f˚ar en fördelning av olika tider. Sannolikhetstätheten för olika tider ges av 

f(t) = 1 

τ e−t/τ 

Vi skulle kunna använda v˚ara 1000 mätningar för att göra en maximum likelihood-uppskattning 

av τ, vilket är enkelt. Det ger en bra uppskattning om 

fördelningen verkligen har formen ovan, men om vi t.ex. skulle ha en bakgrund 

av atomer med andra livstider eller slumpmässiga signaler i v˚ar apparatur orsakade 

av kosmisk str˚alning blir resultatet fel. Vi kan inkludera s˚adan effekter i 

v˚ar likelihood, men d˚a blir maximeringsproblemet besvärligare. Hur som helst 

bör vi histogrammera v˚ara värden p˚a t för att f˚a en bättre bild av v˚ara data. 

Figur 7.1 visar histogrammet. Det visar ocks˚a tv˚a exponentialfördelningar med 

olika τ. B˚ada fördelningarna ser ut att stämma ganska väl med v˚ara data, men 

den streckade stämmer bättre. Vi kan undra ifall avvikelsen för den heldragna 

kurvan är statistiskt signifikant. I de första tre binnarna ligger ju data ovanför, 

och sedan lite under, men det kanske är en slump? Fr˚agan blir: Hur stora statistiska 

fluktuationer av antalet händelser i en bin förväntar vi oss? 

7.1 Multinomial- och poissonfördelningarna 

Vi söker sannolikhetsfördelningen för antalet mätvärden νi i bin i i ett histogram 

med N värden, dragna ur en sannolikhetstäthet f(x) (t.ex. exponen- 

1 Ibland används viktade händelser, men det g˚ar vi inte in p˚a här. 

75

76 KAPITEL 7. HISTOGRAM OCH POISSONFÖRDELADE VARIABLER 

antal händelser per bin 

400 

300 

200 

100 

0 

0 1 2 3 4 5 6 

t (ms) 

Figur 7.1: Ett histogram över tider dragna ur en exponentialfördelning och 

tv˚a exponentialfördelningar med olika livstid (τ = 0,5ms för den steckade och 

τ = 0,6ms för den heldragna). 

tialfördelningen i exemplet ovan). Vi inför 

 

pi = f(x)dx 

bin i 

som för varje x-värde är sannolikheten att hamna i bin i. Ett sätt att f˚a νi 

värden i bin i är att de första νi värdena hamnar där och de följande N −νi inte 

gör det. Sannolikheten för detta f˚ar vi genom att multiplicera sannolikheterna 

för alla x-värdena, vilket ger p νi 

i (1−pi) N−νi . Men vi kan välja de νi värdena som 

ska hamna i bin i p˚a olika sätt. Antalet sätt att välja νi värden (eller förem˚al) 

av totalt N stycken ges av binomialkoefficienten 

 

N N! 

= 

νi!(N − νi)! 

νi 

Varje urval av νi värden f˚ar sannolikheten p νi 

i (1 − pi) N−νi , och den totala san- 

nolikheten för νi blir allts˚a 

 

N 

P(νi) = 

νi 

. 

 

p νi 

i (1 − pi) N−νi . (7.1) 

Denna fördelning kallas för multinomialfördelningen. (Har vi bara tv˚a klasser, 

med sannolikheterna p och 1 − p, f˚ar vi en binomialfördelning.)

7.1. MULTINOMIAL- OCH POISSONFÖRDELNINGARNA 77 

Vi kan skriva om multinomialfördelningen genom att förkorta bort gemensamma 

faktorer i N 

: νi 

P(νi) = 

N! 

νi!(N − νi)! pνi 

i (1−pi) N−νi = N(N − 1)...(N − νi + 1) 

νi! 

p νi N−νi 

i (1−pi) 

Vi tänker oss nu att vi histogrammerat resultatet av ett mycket stort antal 

mätningar. Eftersom vi har m˚anga mätningar kan vi använda sm˚a binnar. Antalet 

mätningar i bin i blir d˚a mycket mindre än det totala antalet, dvs 

νi


e −µ 

∞ 

ν=1 

µ µν−1 

= µe−µ 

(ν − 1)! 

∞ 

i=0 

µ i 

i! 

= µ , 

som redan nämnts. (Här har vi helt enkelt infört i = ν −1 som summationsindex 

s˚a att vi f˚ar summan fr˚an noll till oändligheten som blir e −1 .) Variansen blir 

σ 2 = e −µ 

−µ 2 + e −µ 

∞ 

(ν−µ) 

ν=0 

∞ 

ν=1 

2 µν 

ν! 

= e−µ 

∞ 

2 µν 

ν 

ν! = −µ2 + e −µ 

∞ 

(µ 

ν=0 

2 −2µν+ν 2 ) µν 

ν! = µ2−2µ 2 +e −µ 

ν=0 

∞ 

ν=1 

νµ µν−1 

(ν − 1)! = −µ2 + µe −µ 

− µ 2 + µ(µ + 1) = µ 

∞ 

i=0 

2 µν 

ν 

ν! = 

(i + 1) µi 

i! = 

som ocks˚a redan nämnts (ekvation 4.16). 

Dessutom kan man visa att summan av tv˚a poissonvariabler med medelvärden 

µ1 och µ2 ocks˚a är en poissonvariabel med medelvärdet µ1+µ2. Vi kan tänka 

oss att vi har en histogrambin med sannolikhet p

7.2. HISTOGRAM MED FELSTAPLAR 79 

När man histogrammerar ett begränsat antal utfall och inte har väldigt smala 

binnar gäller binomialstatistik snarare än poissonstatistik. Men om totala antalet 

utfall N som histogrammeras är poissonfördelat, snarare än ett p˚a förhand 

bestämt antal, kan man ganska enkelt visa att antalet utfall i en bin blir exakt 

poissonfördelat. Det är ofta just s˚a det är. Om vi mäter antalet sönderfall i ett 

radioaktivt preparat under en minut och histogrammerar antalet i tiosekundersbinnar 

bestämmer vi ju inte p˚a förhand det totala antalet. Om endast en liten 

andel sönderfaller under v˚ar minut kommer antalet som gör det att bli poissonfördelat, 

och därmed ocks˚a antalet i varje bin. Men om livstiden är mycket 

kortare än en minut kommer de allra flesta kärnorna att hinna sönderfalla, och 

totala antalet sönderfall blir med god approximation lika med antalet kärnor vi 

hade fr˚an början, som kanske inte är poissonfördelat. Men v˚ar apparatur kanske 

bara är känslig för en liten andel av alla sönderfall, och d˚a blir antalet sönderfall 

vi observerar ˚aterigen poissonfördelat. Dessutom är antalet radioaktiva kärnor 

fr˚an början förmodligen ocks˚a poissonfördelat. I väldigt m˚anga fall när man 

räknar ett antal av n˚agonting s˚a blir antalet poissonfördelat. 

7.2 Histogram med felstaplar 

Vi ˚aterg˚ar nu till Figur 7.1. Det blir lättare att se hur bra data stämmer 

överens med den heldragna kurvan om vi ritar ut felstaplar som svarar mot 

fluktuationerna i antalet sönderfall i en bin. Vi har sett att detta antal blir 

poissonfördelat, och poissonfördelningen har standardavvikelsen σ = √ µ, dvs 

om poissonmedelvärdet i en bin ges av den heldragna kurvan är de förväntade 

fluktuationerna kvadratroten ur det värde som svarar mot kurvan. Vi skulle 

kunna rita felstaplar runt kurvan eller ersätta den med ett band med en bredd 

som svarar mot poissonfluktuationerna. Men det är inte s˚a ofta man gör p˚a det 

sättet. Istället brukar man tillskriva antalet utfall i en bin, νi, ett ”fel” som är 

ti−δ/2 

∆νi = √ νi , (7.3) 

och sedan rita histogrammet som datapunkter med felstaplar, som i Figur 7.3. 

Anledningen till att man gör p˚a det sättet är att man vill representera själva 

mätningen av antalet utfall i binnen utan att förlita sig p˚a n˚agon modell för 

poissonmedelvärdet. Antalet observerade utfall har egentligen inte n˚agot fel, 

men om vi betraktar det som en uppskattning av poissonmedelvärdet i binnen 

finns det en osäkerhet i den uppskattningen. När vi uppskattar osäkerheten fr˚an 

v˚art mätvärde kommer vi att underskatta den lite grann om data fluktuerar 

ned˚at, och överskatta den lite grann för fluktuationer upp˚at. Ofta spelar detta 

inte s˚a stor roll. 

Felstaplarna i Figur 7.3 gör att det är lättare att se hur betydelsefulla 

avvikelserna är. Dessutom kan vi använda felen för att anpassa en funktion med 

minsta kvadratmetoden. Om vi har N mätvärden fördelade över de olika binnarna 

blir det förväntade antalet (poissonmedelvärdet) i en bin med mittpunkt 

vid ti och bredd δ 

ti+δ/2 

1 

1 

fi = N exp(−t/τ) ≈ Nδ 

τ τ exp(−ti/τ) 

Vi vill allts˚a anpassa parametrarna n0 = Nδ 

τ 

f(x) = n0 exp(−t/τ) 

och τ i funktionen


frekvens (händelser / 0,2 ms) 

400 

300 

200 

100 

0 

0 1 2 3 4 5 6 

t (ms) 

Figur 7.3: Samma data som i Figur 7.1, med felstaplar. 

till v˚ara punkter genom att minimera 2 νi−fi där σi = σi 

√ νi eftersom νi är 

poissonfördelad. Summan blir allts˚a 

χ 2 = (νi − fi) 2 

νi 

(7.4) 

Observera att f inte är linjär i parametrarna, s˚a för att minimera detta kan vi 

inte använda matrismetoden (ekvation 6.10), utan vi m˚aste ta till numeriska 

metoder. Det är ganska vanligt att man blir tvungen till det. I det här fallet kan 

vi dock klara oss änd˚a genom att logaritmera f, dvs vi skriver 

lnf = lnn0 − 1 

t ≡ a − bt , 

τ 

där vi infört tv˚a nya parametrar a och b. Funktionen lnf är linjär i parametrarna 

och vi kan nu införa x = t och y = lnν och använda ekvation 6.10 för v˚ar anpassning. 

Eftersom vi allts˚a anpassar lnf som funktion av t till en rät linje är det 

ocks˚a möjligt att använda ekvationerna 6.13 – 6.15. För att göra anpassningen 

behöver vi felen i y = lnν. Som redan nämnts är felet (egentligen osäkerheten) 

i logaritmen det relativa felet i det man logaritmerar: σy = 

Utnyttjar vi poissonfördelningen för ν f˚ar vi 

σyi 

= 1 

√ νi 

dy 

dν σν 

2 

= 1 

ν σν.

7.2. HISTOGRAM MED FELSTAPLAR 81 

och har därmed allt vi behöver för v˚ar anpassning. 

Lägg märke till att ovanst˚aende uttryck för σy endast gäller om vi anpassar 

till logaritmen av antalet utfall i varje bin (ett observerat heltal). Om vi istället 

fr˚an början dividerat med binbredden och bildat sönderfallshastigheten ni = νi 

δ 

blir det lite annorlunda. Vi anpassar d˚a till y = ln(nis). (Lägg märke till att vi 

m˚aste uttrycka ni i en enhet, t.ex. som här s −1 , för att f˚a ett dimensionslöst tal 

som vi kan logaritmera.) Vi f˚ar σni = √ νi 

δ = ni 

δ och σy = σni /ni = 1 

√ niδ . 

Det finns en annan anledning till att logaritmera v˚ara värden, nämligen 

att bättre kunna se hur det ser ut för de binnar i fördelningens ”svans” som 

inneh˚aller f˚a mätningar. Figur 7.4 visar de logaritmerade värdena p˚a antalet 

utfall i de olika binnarna, med fel. Det är tydligt att punkterna inte ligger p˚a 

en rät linje! Vi har n˚agon form av bakgrund som inte avklingar alls lika snabbt 

som sönderfallen vi vill räkna. Den beskrivs allts˚a av ett mycket större värde p˚a 

τ. Vi kan allts˚a inte beskriva v˚ara data med en enda exponentialfördelning. Gör 

vi en minsta kvadratanpassning av en en rät linje till alla punkterna i Figur 7.4 

kommer vi att f˚a ett för stort värde p˚a livstiden b = τ. För att bestämma den 

livstid vi är ute efter kan vi antingen välja att bara ta med punkter i början 

av histogrammet där vi kan försumma bakgrunden, anpassa b˚ade bakgrund och 

signal (i s˚a fall blir funktionen inte längre linjär i parametrarna), eller göra 

mätningar utan signal för att bestämma bakgrunden s˚a att vi kan subtrahera 

den. 

ln ( / (0.2ms) -1 n ) 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

-1 

0 1 2 3 4 5 6 

t (ms) 

Figur 7.4: Ett diagram över logaritmen av antalet sönderfall per bin, med fel. 

Genom att ta logaritmen kan vi bättre se hur fördelningens ”svans” ser ut, men 

den mer populerade delen syns mindre tydligt. Vi har infört räknehastigheten 

n, dvs antalet sönderfall per tidsenhet.


För att se om v˚ara data i svansen avviker kan vi ocks˚a använda en logaritmisk 

skala, som i Figur 7.5. Använder man ett programpaket för plottning brukar det 

vara lätt att välja att plotta punkterna p˚a detta sätt. 

frekvens (händelser / 0,2 ms) 

10 2 

10 

1 

0 1 2 3 4 5 6 

t (ms) 

Figur 7.5: Ett diagram över antalet sönderfall per bin, med fel, plottade p˚a en 

logaritmisk skala.

Kapitel 8 

Kovarians och korrelation 

Om vi har en variabel x som kan anta slumpmässiga värden med olika sannolikhet 

har vi sett att vi kan beskriva fördelningen av värden med en sannolikhetstäthet 

f(x), s˚a att sannolikheten att ett x-värde ska hamna i ett litet 

interval dx vid x är f(x)dx. Vi s˚ag ocks˚a i avsnitt 4.4 att om vi har tv˚a 

stokastiska variabler x och y som beskrivs av tv˚a tätheter f(x) och g(y) s˚a blir 

sannolikheten att f˚a ett x-värde i intervallet dx runt x och ett y-värde i dy 

vid y 

P(x ∈ dx;y ∈ dy) = f(x)dx g(y)dy . (8.1) 

om x och y är oberoende av varandra. Ovanst˚aende tas som en definition av vad 

vi menar med att x och y är oberoende. Det betyder att en br˚akdel g(y)dy av 

alla g-värden kommer att falla i intervallet dy, även om vi bara väljer par (x,y) 

som har x i n˚agot särskilt interval (och vice versa). Processen som ger y beror 

allts˚a inte p˚a den som ger x, eller tvärtom. 

Vi kan nu definiera en sannolikhetstäthet i x,y-planet (eng. ”joint probability 

density function”) s˚a att 

F(x,y)dxdy = P(x ∈ dx;y ∈ dy) 

Om F(x,y) kan faktoriseras som i ekvation 8.1 är allts˚a x och y oberoende, och 

vi kan studera f(x) och g(x) var för sig. Men om x och y inte är oberoende 

m˚aste vi använda F(x,y) för att beskriva situationen. Eftersom sannolikheten 

att hamna n˚agonstans i x,y-planet är 100% är 

 

F(x,y)dxdy = 1 , (8.2) 

analogt med ekvation 4.2 för en dimension. 

För tv˚a variabler, x och y, är F(x,y) en ”karta” över xy-planet som visar 

i vilka omr˚aden sannolikhetstätheten är hög. Den kan ˚ask˚adliggöras med niv˚akurvor, 

precis som höjden p˚a en vanlig topografisk karta. Figur 8.1 visar tre 

exempel. Kryssen visar n˚agra (x,y)-par dragna slumpmässigt. Fördelningen 

till vänster har en komplicerad struktur, och det är uppenbart att x och y 

inte är oberoende. I den mittersta fördelningen är x och y oberoende och normalfördelade. 

I fördelningen till höger däremot ser vi att höga x-värden tenderar 

att˚atföljas av höga y-värden. I detta fall säger man att det finns en positiv korrelation 

mellan x och y (i diagrammet till vänster är korrelationen negativ). För 

83

84 KAPITEL 8. KOVARIANS OCH KORRELATION 

Figur 8.1: Tre olika sannolikhetstätheter i x,y-planet och n˚agra slumpmässiga 

utfall ur var och en av dem. 

att variablerna skall vara oberoende f˚ar inte y-fördelningen vara olika för olika x, 

s˚a korrelerade variabler är inte oberoende. (Däremot är det inte s˚a att avsaknad 

av korrelation innebär att variablerna är oberoende.) 

Vi är speciellt intresserade av fallet d˚a x är resultatet av en mätning där 

µx, väntevärdet av x, är storhetens sanna värde, och motsvarande för y. När vi 

resonerade oss fram till felfortplantningsformeln i avsnitt 3.1 sade vi att det vore 

otur om felen i x och y samtidigt r˚akade bli stora. Vi härledde sedan formeln 

för statistiska fel i avsnitt 4.4 under antagandet att felen är oberoende. För tv˚a 

variabler lyder formeln 

σa = 

 

 

∂a 

∂x σx 

2 

∂a 

+ 

∂y σy 

2 . (8.3) 

Men om felen i x och y är starkt korrelerade är det inte längre otur om de 

samverkar, och de är inte heller oberoende av varandra. Ovanst˚aende formel 

gäller allts˚a inte, utan m˚aste kompletteras. 

För att göra denna komplettering börjar vi med att bestämma medelvärdet 

(väntevärdet) av a som i ekvation 4.19, men nu faktoriserar inte sannolikhetstätheten: 

 

E(a(x,y)) = a(x,y)F(x,y)dxdy . 

Om felen är sm˚a kan vi approximera a med en linjär funktion (konstanta 

derivator), vilket ger 

 

E(a(x,y)) = a(µx,µy) + ∂a 

∂x (x − µx) + ∂a 

 

(y − µy) F(x,y)dxdy . 

∂y 

Det är endast x och y som varierar, s˚a vi f˚ar 

 

E(a(x,y)) = E a(µx,µy) + ∂a 

∂x (x − mux) + ∂a 

 

(y − µy) = 

∂y 

a(µx,µy) + ∂a 

∂x E(x − µx) + ∂a 

∂y E(y − µy) , 

och eftersom E(x) ≡ µx och E(y) ≡ µy har vi (liksom förut) att 

E(a(x,y)) = a(µx,µy) .

Variansen av a ges av 

σ 2 a = E 

 

(a(x,y) − E(a(x,y))) 2 

= E 

 

(a(x,y) − a(µx,µy)) 2 

Vi gör ˚aterigen den linjära approximationen för a: 

σ 2 a = E a(µx,µy) + ∂a 

∂x (x − µx) + ∂a 

∂y (y − µy) 

 

2 

− a(µx,µy) = 

∂a 

E 

∂x (x − µx) + ∂a 

 

2 

(y − µy) = 

∂y 

2 ∂a 

E 

∂x 

(x − µx) 2 2 ∂a 

+ E 

∂y 

(y − µy) 2 + 2 ∂a ∂a 

∂x ∂y E [(x − µx)(y − µy)] 

Vi känner igen varianserna σ 2 x = E (x − µx) 2 och σ 2 y = E (y − µy) 2 . Om 

vi strök den sista av de tre termerna i uttrycket för σ 2 a skulle vi allts˚a f˚a ekvation 

8.3. Den tredje termen inneh˚aller väntevärdet E [(x − µx)(y − µy)] = 

dx dy F(x,y)(x − µx)(y − µy). Om x och y är oberoende, s˚a att F(x,y) = 

f(x)g(y), kan vi integrera över en variabel i taget, och resultatet blir noll. För att 

E [(x − µx)(y − µy)] skall kunna bli större än noll m˚aste y tendera att vara större 

än sitt medelvärde µy när x > µx, och mindre än µy d˚a x < µx. Om det tvärtom 

är s˚a att y fluktuerar ned˚at när x fluktuerar upp˚at blir E [(x − µx)(y − µy)] < 0. 

Man definierar kovariansen mellan variablerna x och y som 

cov(x,y) = E [(x − µx)(y − µy)] (8.4) 

där E betecknar förväntansvärdet, och medelvärdena av x och y är µx = E(x) 

och µy = E(y). Ibland ser man ocks˚a beteckningarna σxx = σ2 x, σyy = σ2 y och 

σxy = cov(x,y). 

Genom att dra roten ur variansen σ2 a ovan f˚ar vi den kompletta felfortplantningsformeln 

för tv˚a variabler: 

 

 

∂a 

σa = 

∂x σx 

2 

∂a 

+ 

∂y σy 

2 + 2 ∂a ∂a 

∂x ∂y cov(x,y) . (8.5) 

Resonemanget kan lätt generaliseras till flera variabler x1,x2,...xn. Vi f˚ar en 

kovariansterm för varje par av variabler. Alla kovarianser och varianser kan 

sammanfattas i variansmatrisen 

⎛ 

⎞ 

⎜ 

V = ⎜ 

⎝ 

σ2 1 cov(x1,x2) ... cov(x1,xN) 

cov(x2,x1) σ2 2 ... cov(x2,xN) 

. 

. 

. .. 

cov(xN,x1) cov(xN,x2) ... σ 2 N 

som är symmetrisk eftersom cov(xi,xj) = cov(xj,xi). Vi ser att matrisen i ekvation 

6.7 som vi använde för minsta kvadratanpassningen är variansmatrisen 

för de oberoende (och därmed okorrelerade) mätningarna av yi,i = 1,N. Matrisen 

Va i ekvation 6.11 är den resulterande variansmatrisen för de anpassade 

parametrarna. Om vi använder dessa parametrar i ett numeriskt uttryck m˚aste 

vi ta hänsyn till kovarianstermerna när vi bestämmer osäkerheten. 

. 

⎟ 

⎠ 

85

86 KAPITEL 8. KOVARIANS OCH KORRELATION 

Man brukar ocks˚a införa korrelationen för fördelningen: 

ρ = cov(x,y) 

σxσy 

Det g˚ar att visa att kovariansen aldrig kan bli större till beloppet än produkten 

av standardavvikelserna, s˚a ρ ligger mellan −1 och +1. Negativa värden svarar 

mot en negativ lutning, och ju närmare ±1 som ρ ligger desto mer närmar sig 

fördelningen ett linjärt samband mellan x och y. Figur 8.2 visar tre exempel. 

Femhundra punkter har dragits ur var och en av tre fördelningar med olika 

korrelation. I det vänstra diagrammet är ρ = 0,98 och punkterna ligger nära en 

linje med positiv lutning. (Observera att hur stor lutningen är inte spelar n˚agon 

roll för värdet p˚a ρ.) I mitten är ρ = 0,3, och punkterna ser nästan okorrelerade 

ut. Punkterna till höger är dragna ur en fördelning med ρ = −0,7 och den 

negativa lutningen syns tydligt. 

y 

x 

y 

Figur 8.2: Tre datamängder dragna ur fördelningar med olika korrelation (ρ = 

0,98, 0,3, 0,7). 

Om vi mäter en variabel N g˚anger har vi sett att vi uppskattar fördelningens 

medelvärde för x (väntevärdet av x) med det aritmetiska medelvärdet, 

µx = x = 1 

 

x , 

N 

och fördelningens varians med 

σx 2 = 1 

N − 1 

. 

(x − x) 2 

vilket nästan är det aritmetiska medelvärdet av (x − x) 2 . (Vi använder som 

tidigare sagts N − 1 istället för N eftersom uppskattningen annars tenderar att 

bli för liten för sm˚a N.) Om varje x-värde hör ihop med ett y-värde kan vi i 

analogi med ovanst˚aende bilda ett estimat för fördelningens kovarians cov(x,y): 

cov(x,y) = 1 

[(x − x)(y − y)] . (8.6) 

N − 1 

x 

, 

y 

x

Man kan tycka att vi nu uppskattat tv˚a medelvärden och borde dividera med 

N − 2, men vi har ocks˚a dubbelt s˚a m˚anga mätvärden, s˚a N − 1 är fortfarande 

korrekt. Vi kan ocks˚a uppskatta korrelationen hos fördelningen som 

r = ρ = cov(x,y) 

= 

σxσy 

(x − x)(y − y) 

(x − x) 2 (y − y) 2 

87 

(8.7) 

Man brukar kalla r för den linjära korrelationskoefficienten för de N datapunkterna. 

Precis som ρ kan den ligga mellan −1 och +1. Medan ρ beskriver hur 

mycket punkter dragna ur en fördelning i genomsnitt ansluter sig till en rät 

linje med positiv eller negativ lutning ger r motsvarande värde för ett stickprov 

av (x,y)-punkter. Liksom när det gäller uppskattningen av σ är det inte 

nödvändigt att använda hattbeteckningar för estimaten om det inte finns risk 

för förväxling. 

När vi beräknar kovariansen eller korrelationen fr˚an en uppsättning mätningar 

x och y kan det vara bra att göra omskrivningen (x−x) 2 = x2− 1 

N ( x) 2 , 

som när vi härledde ekvation 4.11, och motsvarande för (y −y) 2 . En liknande 

omskrivning av summan i ekvation 8.6 blir 

 

(x−x)(y−y) = xy+ xy− xy− yx = xy−Nxy = 

1 

 

xy − x y 

N 

Beräknar vi summorna x, y, x 2 , y 2 och xy över alla (x,y)-par kan 

vi sedan sätta in dem i formlerna för medelvärden, varianser/standardavvikelser 

och kovariansen. Detta är speciellt användbart om räkningarna görs för hand. 

Kovariansen för stickprovet blir 

cov(x,y) = ( xy) − 1 

N ( x)( y) 

N − 1 

och korrelationenskoefficienten kan skrivas 

r = 

( xy) − 1 

N ( x)( y) 

x 2 1 − N ( x) 2 y2 − 1 

N ( y) 2 

Som avslutning vill jag p˚apeka att medelvärdet av en summa är summan av 

medelvärdena (E(x + y) = E(x) + E(y)), helt oberoende av eventuella korrelationer 

och av formen för F(x,y). Lite mer allmänt blir ju 

 

E(αx + βy + γ) = (αx + βy + γ)F(x,y)dx = αE(x) + βE(y) + γ , 

för konstanta α, β och γ. Korrelationerna p˚averkar allts˚a variansen av en 

summa, men inte dess medelvärde.

88 KAPITEL 8. KOVARIANS OCH KORRELATION

Kapitel 9 

Konfidensintervall och 

Hypotestest 

När vi presenterar resultat anger vi osäkerheter som svarar mot ”typiska” fel. 

Jag skrev att det ofta inte g˚ar att ange s˚adana fel s˚a att de exakt svarar mot 

en precis definition. Detta gäller framför allt systematiska fel. För statistiska fel 

är standardavvikelsen det typiska felet, och genom att mäta upprepade g˚anger 

kan vi uppskatta den. Vi kan ocks˚a använda felfortplantningsformeln för att 

bestämma standardavvikelsen i en storhet som i sin tur är en funktion av en eller 

flera storheter med fel, a = a(x,y ...) (är felen korrelerade m˚aste vi ta hänsyn 

till det). Observera dock att felfortplantningsformeln förutsätter att funktionen 

kan anses linjär för de värden p˚a x,y,z som kan komma ifr˚aga (allts˚a en god 

bit bortom felgränserna) 1 . 

Trots ovan nämna begränsningar är mätfelet i en storhet ofta normalfördelat, 

som en följd av centrala gränsvärdessatsen. Om vi vet (eller antar) att felet är 

normalfördelat kan vi ge en lite tydligare tolkning av vad felgränserna ±1σ 

betyder. L˚at oss anta att vi mäter en storhet, och att v˚art mätvärde x är normalfördelat 

runt det sanna värdet µ som vi inte känner. Däremot har vi bestämt 

standardavvikelsen σ i normalfördelningen. V˚art mätresultat blir d˚a en uppskattning 

av µ (jag skriver ”µ” istället för ”µ”, vilket man ju oftast gör när man 

presenterar resultatet av en mätning): 

µ = xm ± σ , 

där xm är v˚art uppmätta värde. Vi vill nu uttrycka detta som en utsaga om 

sannolikheter. Figur 9.1 illustrerar situationen. V˚art värde xm är draget ur 

normalfördelningen centrerad vid (det okända) värdet µ. I exemplet i figuren 

ligger det sanna värdet inte inom felgränserna. Däremot kommer det oftast att 

göra det. Vi vet ju att om vi gör om mätningen m˚anga g˚anger (drar nya xm 

enligt fördelningen i figuren) kommer vi i 68% av fallen att hamna inom ±1σ 

fr˚an µ. När detta händer kommer v˚ara felgränser att hamna s˚a att de inkluderar 

µ. Vi ser att v˚art felintervall inkluderar det sanna värdet i 68% av fallen. Vi 

1 Om v˚ar funktion inte är linjär kan vi genom att generera värden p˚a x, y . . . och sätta in 

dem i funktionsuttrycket bestämma fördelningen av a för olika antaganden om vilka som är 

de sanna värdena. 

89

90 KAPITEL 9. KONFIDENSINTERVALL OCH HYPOTESTEST 

f(x) 

0 

x m 


Figur 9.1: Ett mätvärde xm med tillhörande felgränser, samt normalfördelningen 

runt det sanna värdet som xm drogs ur. 

kallar intervallet 

[xm − σ,xm + σ] 

för ett konfidensintervall med konfidensniv˚an 68%. (P˚a engelska säger man ”confidence 

level”, vilket ofta förkortas ”CL”.) 

När man anger osäkerheter (”fel”) är det ofta just ett konfidensintervall 

med konfidensniv˚an 68% (”en gaussisk sigma”) man har i tankarna, snarare än 

en standardavvikelse för den aktuella fördelningen. (För en normalfördelning 

blir det först˚as ingen skillnad.) När man explicit talar om konfidensintervall 

(snarare än ”fel” eller ”osäkerheter”) brukar man använda en högre konfidensniv˚a 

än 68%. Vanligt är 95% och 99%, men även 90% förekommer. Det är 

naturligtvis absolut nödvändigt att ange konfidensniv˚an när man presenterar 

ett konfidensintervall. 

Lägg märke till att i figur 9.1 är normalfördelningskurvan centrerad vid det 

sanna värdet µ. Det är ju den sannolikhetstätheten vi drar v˚art mätvärde ur. 

Att rita in en normalfördelning centrerad vid xm skulle inte vara lämpligt. Vi 

är inte speciellt intresserade av det osannolika fall d˚a vi r˚akar f˚a exakt rätt 

värde. Däremot m˚aste vi ju tänka oss olika möjliga värden p˚a µ eftersom vi 

inte vet det sanna värdet. Det värde som ligger precis vid v˚ar undre felgräns 

kännetecknas av att sannolikheten för att det skulle ge ett värde större än vi 

observerat är 1 

2 (1 − 0,68) = 16% (sannolikheten för en avvikelse mer än 1σ 

˚at ena h˚allet fr˚an medelvärdet). Motsvarande gäller för den övre gränsen. De 

b˚ada fördelningarna som svarar mot dessa punkter visas i Figur 9.2 tillsammans 

med mätvärdet och det 68-procentiga konfidensintervallet. Punkter som ligger 

utanför konfidensintervallet är uteslutna med den aktuella konfidensniv˚an. Med 

konfidensniv˚an 68% kommer man att utesluta det sanna värdet i nästan ett fall 

av tre. Detta är knappast vad man vanligen menar med att n˚agot är ”uteslutet”. 

Det är därför man brukar använda konfidensniv˚aer över 90%. Ett intervall med 

x

f(x) 

0 

x m 


Figur 9.2: Normalfördelningarna för de tv˚a hypotetiska sanna värden som 

svarar mot gränserna i konfidensintervallet med 68% konfidensniv˚a. 

konfidensniv˚an 95% är 

[xm − 1,96σ, xm + 1,96σ] , 

dvs. nästan tv˚a ”gaussiska sigma”, och 2,58 gaussiska sigma svarar mot konfidensniv˚an 

99%. 

Intervallet ovan är ett tv˚asidigt konfidensintervall. Det är ocks˚a ganska vanligt 

med enkelsidiga intervall. Det kan röra sig om att man försöker detektera 

en effekt av n˚agot slag utan att lyckas. Resultatet kan d˚a presenteras som en 

övre gräns för effekten i fr˚aga. Ett exempel f˚ar illustrera. 

Antag att vi skall producera ett mycket stort antal detektorer som räknar 

antalet g˚anger de träffas av joniserande partiklar (radioaktiv str˚alning). Det 

är viktigt att alla räknar lika, och att de inte räknar om de inte träffas. Vi 

använder därför speciella l˚agaktiva material i konstruktionen, och vi skickar 

ned n˚agra prototyper i en djup gruva där vi ordnar s˚a att vi kan försumma 

bakgrundsstr˚alningen (berget ovanför filtrerar bort den kosmiska str˚alningen). 

Vi konstaterar p˚a s˚a sätt att detektorerna inte räknar av sig själva. När vi byggt 

ett mycket stort antal visar det sig dock att n˚agot g˚att fel i produktionen s˚a 

att n˚agra detektorer blivit svagt radioaktiva och därför ger extra pulser. Vi 

testar därför allihop i v˚art lab, där var och en f˚ar ta data i 10 minuter. Genom 

upprepade mätningar med flera av v˚ara korrekt byggda prototyper konstaterar 

vi att det förväntade antalet pulser fr˚an bakgrundsstr˚alning under 10 minuter är 

µb = 203. Detta är allts˚a medelvärdet i en poissonfördelning för antalet pulser 

n i en detektor där allt g˚att som det ska i produktionen. De d˚aliga detektorerna 

räknar lite mer. 

För varje detektor är vi nu intresserade av hur m˚anga pulser den i medeltal 

spontant genererar under 10 minuter, utöver det normala. För en korrekt fungerande 

detektor skall detta vara noll (eller mycket nära noll), medan en detektor 

med inbyggt radioaktivt material kommer att ge ett antal större än noll. 

x 

91


Även detta antal kommer att vara poissonfördelat, med ett medelvärde vi kan 

beteckna med µ (som allts˚a är olika för olika detektorer). Totala antalet pulser 

blir poissonfördelat med medelvärde µtot = µb + µ. 

För s˚a stora tal som det är fr˚aga om kan vi approximera poissonfördelningen 

med en normalfördelning. Standardavvikelsen för n är 

och den stokastiska variabeln 

σ = √ µb + µ 

x = n − µb 

är normalfördelad med medelvärde µ och standardavvikelse σ. V˚art värde p˚a x 

är allts˚a en uppskattning av µ, och vi kan konstruera ett konfidensintervall för 

µ, som i figur 9.2. Nu är vi emellertid inte särskilt intresserade av den undre 

gränsen, vi vill bara vara n˚agorlunda säkra p˚a att µ inte är för stort. Vi konstruerar 

därför ett ensidigt konfidensintervall fr˚an v˚art mätta värde xm som i 

figur 9.3. Om v˚art observerade värde är xm och vi önskar 95 procents konfidens- 

f(x) 

x m 

-50 

5% 

0 50 100 

Figur 9.3: Ett ensidigt konfidensintervall (övre gräns) för ett mätt värde 

xm = 12. En normalfördelning med medelvärde 37,5 och standardavvikelse 

√ 37,5 skulle ge x ≤ 12 i fem procent av mätningarna. Den övre gränsen är 

allts˚a 37,5. 

niv˚a utesluter vi de värden p˚a µ som med fem procents sannoliket eller mindre 

ger x ≤ xm (de till höger om den streckade linjen i figuren). Detta ger en lägre 

gräns (och utesluter fler värden) än ett dubbelsidigt intervall med samma konfidensniv˚a 

skulle hade gjort. För ett dubbelsidigt intervall ges ju övre gränsen 

av att vi ska ha 2,5 procents sannolikhet att f˚a ett lika l˚agt eller lägre värde 

än det observerade. Om räknaren t.ex. ger 1968 pulser, s˚a att xm = 12 kan vi 

sammanfatta v˚art enkelsidiga intervall med att 

µ < 38 (95% konfidensniv˚a). 

x

9.1. HYPOTESTEST 93 

9.1 Hypotestest 

De mest banbrytande experimentella resultaten är ibland inte s˚adana som innebär 

att n˚agot värde bestäms med stor precision, utan istället s˚adana som 

demonstrerar existensen av helt nya fenomen. Exempel kan vara Pasteurs upptäckt 

av betydelsen av hygien inom sjukv˚arden, Hertz’ observation av elektromagnetiska 

v˚agor (i enlighet med Maxwells teori), Chadwicks upptäckt av neutronen, 

eller upptäckten av CP-brottet, allts˚a asymmetrin mellan materia och 

antimateria (Cronin & Fitch). Ibland, som för CP-brottet, kan blotta existensen 

av en effekt ha dramatiska och djupg˚aende konsekvenser för v˚ar beskrivning av 

naturen. Hur som helst kan man knappast studera n˚agot kvantitativt innan man 

fastslagit att det existerar! 

Vi behöver ett allmänt sätt att svara p˚a fr˚agan: Stämmer mina data med 

existerande teori eller m˚aste teorin ändras? Innan vi bestämmer oss för att skriva 

om fysiken fr˚an grunden bör vi eller n˚agon annan upprepa mätningarna för att 

se om det stämmer. D˚a m˚aste vi svara p˚a fr˚agan: Är mätningarna förenliga med 

varandra eller motsäger de varandra? (I det senare fallet m˚aste det finnas systematiska 

osäkerheter man inte först˚att, och innan tydliga slutsatser om teorin 

kan komma ifr˚aga m˚aste systematiken studeras närmare.) Detta är en typ av 

fr˚agor som besvaras med ja eller nej, snarare än med ett mätvärde. Detsamma 

gäller fr˚agor som ”Finns det ett samband mellan hur m˚anga äpplen studenter 

äter och hur de presterar p˚a tentamina?”. 

För att avgöra s˚adana ja/nej fr˚agor använder man hypotestest. Man formulerar 

en hypotes, samlar in n˚agon typ av data som beror p˚a om hypotesen är 

sann, och undersöker om dessa data statistiskt sett utesluter hypotesen. (Lägg 

märke till att falsifierbarhet är en hörnsten i den vetenskapliga metoden. Vi kan 

aldrig verifiera att en hypotes eller teori är sann. Det g˚ar alltid att konstruera 

teorier som skiljer sig ytterst lite fr˚an den vi vill testa. Kanske känns de konstruerade, 

onaturliga eller hemskt komplicerade. Vi kanske inte tar en s˚adan 

teori p˚a allvar. Men vi kan inte utesluta den med statistiska metoder. Och när 

vi n˚att en djupare först˚aelse kanske det vi tyckte var onaturligt blivit ett krav 

vi m˚aste ställa p˚a v˚ar teori.) 

När det gäller arbete p˚a övningslab är det ganska sällan man f˚ar resultat som 

kullkastar grundläggande antagan eller samband inom fysken. Men man behöver 

änd˚a svara p˚a fr˚agor som ” Är mätningarna jag gjort förenliga med varandra?” 

eller ”Stämmer mina data med modellen?”. 

Vi s˚ag i föreg˚aende avsnitt hur vi fr˚an en normalfördelad mätning av x med 

standardavvikelse σ kan ange ett konfidensintervall med 95% konfidensniv˚a som 

[xm − 1,96σ, xm + 1,96σ]. V˚ar observation xm betyder att vi förkastar värden 

utanför intervallet med 95% konfidensniv˚a. Om vi är speciellt intresserade av 

n˚agot visst värde p˚a µ, kalla det µ0, kan vi formulera v˚ar mätning som ett 

hypotestest för hypotesen att µ = µ0. (Kanske vet vi att om v˚ar mätapparatur 

fungerar som den ska blir medelvärdet µ0.) Den hypotes vi testar (i det här 

fallet µ = µ0) kallas för nollhypotesen. Vi konstruerar en stokastisk variabel (i 

det här fallet x − µ0), och om denna variabel faller inom ett visst omr˚ade (i det 

här fallet |x − µ0| > 1,96σ) förkastar vi nollhypotesen2 . 

Vi ˚aterg˚ar nu till exemplet med v˚ara str˚alningsdetektorer. Kanske har vi 

anledning att förkasta alla detektorer som inneh˚aller radioaktivt material. (Vi 

2 Omr˚adet som leder till att nollhypotesen förkastas kallas det kritiska omr˚adet (eng. ”crit- 

ical region”).


kanske misstänker att de är slarvigt byggda och därför ocks˚a kan ha andra 

problem.) I s˚a fall är det lämpligt att göra ett hypotestest. För varje detektor 

vi mäter p˚a vill vi vet om den är OK, dvs har µ = 0. V˚ar nollhypotes bli d˚a 

H0 : µ = 0 

Vi kan ocks˚a formulera den alternativa hypotesen 

H1 : µ > 0 

Vi behöver en variabel som är känslig för om µ > 0, och väljer först˚as x = n−µb, 

som förut. Vi förkastar först˚as H0 (dvs vi säger att detektorn inte är OK) om 

x är för stort. Figur 9.4 visar x-fördelningen om noll-hypotesen är sann. Den 

f(x) 

x m 

5% 

-50 0 50 100 

Figur 9.4: Acceptansomr˚ade för ett hypotestest av H0 : µ = 0, med signifikansniv˚an 

5%. 

har medelvärdet 0 och standardavvikelsen √ µb (vi approximerar som förut poissonfördelningen 

runt µtot = µb med en normalfördelning). När v˚ar mätning gett 

värdet xm kan vi bestämma hur sannolikt det vore att vi skulle f˚a ett större xvärde 

om vi upprepade mätningen. Detta är allts˚a vad sannolikheten var innan 

vi utförde v˚ar mätning (a priori) för att vi skulle f˚a ett utfall som avvek mer fr˚an 

H0 till förm˚an för H1 än vad v˚ar mätning faktiskt gjorde. Vi kallar denna sannolikhet 

för p-värdet för v˚art utfall. Ett litet p-värde innebär att det kan finnas 

anledning att ifr˚agasätta H0. Om vi ˚aterigen som exempel antar att v˚art mätta 

värde p˚a x blir xm = 12 (pilen i figuren) blir p-värdet p = ∞ 

f(x)dx = 0,2. Vi 

xm 

förväntar oss allts˚a ett högre x än vi mätte vid var femte mätning. Det är inte s˚a 

vanligt att man förkastar nollhypotesen p˚a basis av en s˚a pass hög sannolikhet, 

speciellt inte om den alternativa hypotesen innebär en stor upptäckt. Vanligare 

är att man kräver p < 0,05 eller p < 0,01 eller ännu mycket mindre. För att 

vi skall förkasta nollhypotesen kräver vi allts˚a att p skall ligga under ett visst 

x

9.1. HYPOTESTEST 95 

värde, som kallas för hypotestestets signifikansniv˚a, α. Sannolikhetsinneh˚allet 

mer än 0,1645σ ovanför medelvärdet i en normalfördelning är 5%, s˚a för ett 

test med α = 0,05 förkastar vi H0 om x > xcrit = 1,645σ och accepterar H0 

för x-värden i det skuggade omr˚adet i figuren. Om H0 är sann (räknaren OK) 

kommer vi d˚a i 95% av fallen att dra rätt slutsats om den. 

Om vi r˚akar f˚a ett p-värde som ligger under testets signifikansniv˚a trots att 

räknaren är OK kommer vi att förkasta nollhypotesen fastän den är sann. Vi 

drar allts˚a fel slutsats. Denna typ av fel kallas för fel av typ ett, eller typ-I fel. 

Testets signifikans är allts˚a sannolikheten att beg˚a ett typ-I fel. 

Om vi däremot accepterar nollhypotesen trots att den är falsk beg˚ar vi ett fel 

av typ tv˚a. Vi upptäcker inte att nollhypotesen är falsk. Sannolikheten för typ-II 

fel är uppenbarligen noll om H0 är sann. Om H0 är falsk beror sannolikheten 

p˚a hur det faktiskt förh˚aller sig. V˚ar alternativa hypotes ovan var H1 : µ > 0. 

Detta kallas en sammansatt hypotes (eng.”composite hypothesis”) eftersom den 

innefattar flera olika möjligheter. Om H1 är sann blir sannolikheten att beg˚a ett 

typ-II fel en funktion av µ, och vi kan inte beräkna den eftersom vi inte känner 

µ. 

Man brukar definiera testets styrka (eng. ”power”) som sannolikheten att 

man upptäcker att nollhypotesen är falsk om den är det. Att upptäcka de felaktiga 

räknarna var ju själva poängen med v˚art test, s˚a för att ett test ska vara 

användbart är styrkan viktig. Vi hade kunnat förkasta var tjugonde detektor 

helt slumpmässigt och p˚a s˚a sätt ordnat ett test med 5 procents signifikansniv˚a. 

I s˚a fall hade styrkan hos v˚art test ocks˚a blivit 5 procent. Detta vore uppenbarligen 

en dum idé. Vi skulle ha kvar en lika stor andel d˚aliga detektorer och 

vi skulle ha kastat bort n˚agra till ingen nytta. Om däremot styrkan är större 

än signifikansniv˚an f˚ar vi en anrikning av bra detektorer bland dem vi beh˚aller. 

Hur stor styrkan blir beror p˚a hur stort det sanna värdet p˚a µ är. Om µ är nära 

noll kommer fördelningen under H1 att bli i stort sett densamma som under H0. 

I s˚a fall inneh˚aller v˚ar variabel x inte särskilt mycket information om vilken av 

hypoteserna som är riktig och styrkan blir l˚ag. Är däremot µ stort kommer vi 

med stor sannolikhet att f˚a ett x-värde med ett p-värde under signifikansniv˚an, 

och därmed förkasta H0. 

Vi ska inte ge oss in i n˚agra ing˚aende diskussioner av hur man optimerar 

sitt test för att maximera styrkan för en given signifikansniv˚a. Det finns n˚agra 

standard-variabler som ofta används, och det faller sig ocks˚a ofta naturligt vilken 

storhet som avviker om H0 är falsk. Vi kommer att diskutera n˚agra konkreta 

fall i kommande avsnitt. 

En allmän kommentar ang˚aende hypotestest är att de framför allt är användbara 

om man vill fatta ett konkret beslut, t.ex. om vi ska kassera en av v˚ara 

detektorer eller om vi ska till˚ata ett visst färgämne i livsmedel. Om vi är intresserade 

av ifall en ny fysikalisk effekt existerar eller ej är det egentligen pvärdet 

som är det intressanta. Om vi använder ett test med signifikansniv˚an 

0,001 för att söka efter ny fysik, och v˚art p-värde blir 0,00101 är resultatet 

konsistent med noll-hypotesen, men med p = 0,00099 skulle vi förkasta nollhypotesen 

och hävda ny fysik. Detta är knappast rimligt. Vad som skulle hända 

i verkligheten är att ett p-värde runt 0,001 är intressant och kan motivera ytterligare 

mätningar oavsett om det ligger strax ovanför 0,001 eller strax under.


9.2 Korrelationstest 

Antag att vi har sammanhörande värden p˚a x och y (t.ex. antal soltimmar 

under oktober och skörden av v˚arvete för en period p˚a 30 ˚ar). Vi undrar nu om 

det finns n˚agon sorts samband mellan dessa x och y eller om de är oberoende 

av varandra. Om de är oberoende av varandra vet vi att korrelationen är noll. 

S˚aledes kan vi beräkna den linjära korrelationskoefficienten för v˚ara värden p˚a 

x och y enligt ekvation 8.7 och se om den är skild fr˚an noll. Figur 9.5 visar tv˚a 

exempel med 30 punkter vardera, och motsvarande värden p˚a r. Vad drar vi 

y 

r = -0.46 

x 

r = 0.15 

Figur 9.5: Tv˚a datamängder med xy-punkter och den linjära korrelationskoefficienten 

i vardera fallet. 

för slutsatser om dessa datamängder? För punkterna till vänster är r = −0,46 

och intrycket man f˚ar är verkligen att det finns en trend s˚a att y minskar när 

x ökar. Till höger ser det inte lika tydligt ut. Värdet r = 0,15 > 0 visar p˚a en 

ökande trend, men det kanske är en slump. Förresten kanske det ocks˚a är en 

slump att y verkar minska med x för mängden till vänster. 

Här är det upplagt för ett hypotestest! V˚ar nollhypotes blir att korrelationen 

hos den underliggande fördelningen är noll, och p-värdet är a priori sannolikheten 

för att f˚a ett r som avviker lika mycket eller mer fr˚an noll som v˚art 

uppmätta r. För att bestämma p-värdet m˚aste vi veta hur r-värdena fördelar 

sig och och integrera sannolikhetstätheten för r. Det är inte s˚a enkelt att lösa 

detta analytiskt, men det finns tabeller och web-baserade hjälpmedel att tillg˚a, 

baserade p˚a antagandet att x och y är normalfördelade. P˚a s˚a sätt kan vi 

bestämma sannolikheten att 30 punkter ska ge |r| > 0,46. Den blir 1,05%, 

och vi ser att punkterna till vänster uppvisar ett tämligen signifikant samband 

(ett hypotestest med signifikansen 1% skulle nästan utesluta nollhypotesen). 

För punkterna till höger blir motsvarande p-värde 43%. Där kan korrelationen 

allts˚a inte sägas vara signifikant alls. I det här fallet var korrelationerna hos de 

bakomliggande fördelningarna −0,5 respektive 0. 

Lägg märke till att ju mindre korrelationen är, desto fler punkter behöver vi 

y 

x

9.2. KORRELATIONSTEST 97 

för att kunna detektera den. Trettio punkter räckte för en 50-procentig korrelation, 

men en korrelation mycket nära noll kräver mycket mer data. ˚A andra 

sidan är sm˚a korrelationer oftast ganska ointressanta. 

Lägg ocks˚a märke till att även om det finns ett statistiskt samband mellan 

x och y betyder inte det att det finns ett orsakssamband. Kanske v˚art sätt att 

välja vilka mätningar vi ska göra leder till en korrelation, eller kanske b˚ade x 

och y p˚averkas av samma underliggande storhet som fluktuerar upp och ned. 

Om n˚agon mätt x och y och funnit att r < 0 med skaplig signifikans kanske 

vi vill kontrollera detta. I s˚a fall väljer vi som alternativ hypotes att r < 0, 

och förkastar bara nollhypotesen (x,y okorrelerade) om v˚art mätta värde rm 

blir tillräckligt negativt. Vi gör d˚a en enkelsidig hypotestest och sätter allts˚a 

p = P(r < rm) istället för p = P(|r| > |rm|). Eftersom P(r > ξ) = P(r < ξ) = 

1 

2 

P(|r| > ξ) för alla positiva ξ kan vi använda samma tabell för ett enkelsidigt 

test. 

Observera, slutligen, att de p-värden som anges i tabeller är baserade p˚a 

nollhypotesen att x och y är okorrelerade och normalfördelade. Om de inte 

är det kan man fortfarande beräkna r, och värdet fr˚an tabellen kan vara en 

approximation för p. Om p ligger p˚a promilleniv˚a är det förmodligen inte hela 

världen om vi beräknar det fel lite grann. Men Figur 9.6 visar i alla fall ett lite 

extremt exempel p˚a vad som kan hända om x och y inte är normalfördelade. 

Diagrammet till vänster visar en uppsättning xy-punkter som har r = 0,36. Med 

y 

r = 0.36 

x 

Figur 9.6: N˚agra sammanhörande värden p˚a x och y (till vänster) och 2000 

punkter dragna fr˚an en likformig fördelning av x- och y-värden inuti en cirkel i 

xy-planet (till höger). 

nollhypotesen att x och y är okorrelerade och normalfördelade ger detta p = 

5,1%, och vi utesluter allts˚a inte denna hypotes p˚a fem procents signifikansniv˚a. 

Om vi istället som nollhypotes väljer att x och y är likformigt fördelade inuti en 

cirkel i xy-planet som i figuren till höger blir istället p-värdet 1,8%, och allts˚a 

utesluter vi denna hypotes med god marginal. För att bestämma värdet p˚a p i 

y 

x


i det senare fallet genererade jag upprepade g˚anger xy-värden slumpmässigt i 

cirkeln och beräknade r för varje uppsättning av 30 värden. Detta är en allmän 

metod som jag ocks˚a kunde ha använt för det normalfördelade fallet. Lägg 

förresten märke till att för en ”cirkulär” fördelning är x och y okorrelerade, men 

de är inte oberoende! Fördelningen av y är olika beroende p˚a vilket x-intervall 

vi betraktar. 

9.3 Chikvadrattest 

Antag att vi har N mätningar av storheter yi som är normalfördelade runt 

sina respektive medelvärden, fi, med standardavvikelser σi. Detta är samma 

situation som ledde oss till minsta kvadratmetoden. I det fallet berodde v˚ara fi 

p˚a en eller flera parametrar, och vi sökte de parametrar som gav bäst anpassning 

genom att maximera 

χ 2 N 

2 yi − fi 

= 

. (9.1) 

i=1 

Antag istället att vi inte är fria att variera fi, utan att vi bestämt dem p˚a n˚agot 

annat sätt, genom andra mätningar, eller utifr˚an beräkningar vi gjort. I s˚a fall 

kan vi beräkna summan ovan för v˚ara N stycken y-värden, och den blir vad den 

blir. Om v˚ara mätvärden hamnar nära v˚ara värden p˚a fi blir summan liten, 

annars blir den större. Summan best˚ar av N oberoende termer som var och en 

är kvadraten av en stokastisk variabel zi med en standardnormal fördelning (se 

ekvation 4.13): 

χ 2 N 

= 

σi 

i=1 

En s˚adan summa beskrivs av en statistisk fördelning som kallas för en χ 2 - 

fördelning med N frihetsgrader (eng. ”degrees of freedom”, ”dof”). 

Poängen med att beräkna summan är att om den skulle bli mycket större 

än vad man förväntar sig fr˚an χ 2 -fördelningen bör vi misstänka att n˚agot inte 

stämmer. Annorlunda uttryckt kan vi formulera ett hypotesttest baserat p˚a 

värdet av χ 2 . Nollhypotesen är att v˚ara fi är de sanna värdena för de olika 

yi, och om vi f˚ar ett för stort χ 2 förkastar vi nollhypotesen och säger istället 

att v˚ara data inte beskrivs av fi. För att kunna bestämma p-värdet, eller χ 2 - 

sannolikheten, m˚aste vi integrera χ 2 -fördelningen. Vi skulle kunna bestämma 

integralen numeriskt genom att upprepade g˚anger generera värden p˚a N standardnormala 

variabler och bilda summan av deras kvadrater, men det är onödigt 

kr˚angligt. Det är enklare att använda en tabell eller ett anrop till en förprogrammerad 

funktion 3 . 

Variansen för en variabel z vars fördelning är standardnormal är ju ett. Med 

andra ord är 1 = E((z −0) 2 ), ty medelvärdet av z är noll. Allts˚a är medelvärdet 

) av var och en av termerna i summan 9.1 lika med ett, och medelvärdet 

E(z2 i 

av χ2-fördelningen blir allts˚a lika med antalet frihetsgrader. För m˚anga frihetsgrader 

är ju χ2 en summa av m˚anga termer och enligt centrala gränsvärdessatsen 

3För den som undrar ges χ2-fördelningen för ν frihetsgrader av f(x; ν) = kxν/2−1e−x/2 , 

där k är en konstant definierad av att R ∞ 

0 f(x)dx = 1. Det finns ingen elementär primitiv 

funktion. 

z 2 i

9.3. CHIKVADRATTEST 99 

närmar den sig d˚a en normalfördelning. Figur 9.7 visar fördelningen för en, tv˚a, 

tre respektive tio frihetsgrader. 

f(x) 

2.0 

1.5 

1.0 

0.5 

N dof = 1 

f(x) 

0 

0 1 2 3 4 

x 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

N dof = 2 

f(x) 

0 

0 2 4 6 8 

x 

0.25 

0.20 

0.15 

0.10 

0.05 

N dof = 3 

f(x) 

0 

0 3 6 9 12 

x 

0.10 

0.08 

0.06 

0.04 

0.02 

N dof = 10 

0 

0 6 12 18 24 

x 

Figur 9.7: Chikvadratfördelningen för fyra olika antal frihetsgrader (Ndof ). 

Om vi t.ex. har ett antal mätningar av yi med osäkerheter σi för olika xi 

och vill kontrollera om dessa mätningar är förenliga med en funktion y = f(x) 

bildar vi allts˚a summan 

χ 2 N 

2 yi − f(xi) 

= 

. 

i=1 

och läser i tabell av sannolikheten att för N frihetsgrader f˚a ett s˚a stort värde 

eller högre (p-värdet). 

Observera att sannolikheten att f˚a ett p-värde mindre än p är just p. Vi 

har t.ex. fem procent chans att f˚a p < 0,05, tio procent chans att f˚a p < 0,10 

och allts˚a fem procent chans att f˚a 0,05 av inses att sannolikhetsfördelningen 

för p blir likformig mellan noll och ett. Detta är inte specifikt 

för χ2-fördelningen utan beror p˚a själva definitionen av p-värdet. Om v˚art pvärde 

hamnar mycket nära noll kan vi dra slutsatsen att y = f(x) inte beskriver 

v˚ara mätpunkter. Är p < 0,05 är v˚ar funktion f(x) utesluten med 95 procents 

konfidensniv˚a. Nollhypotesen skulle med andra ord förkastas i ett test med signifikansniv˚an 

5%. Om p är mycket nära ett tyder det p˚a att vi gjort n˚agot fel, 

sannolikt var de fel vi använde i uttrycket för χ 2 för stora s˚a att χ 2 -värdet blev 

för litet. 

Vad som sagts ovan gäller om vi har bestämt fi oberoende av v˚ara mätvärden 

yi. Det tillkommer en liten komplikation om vi har anpassat modellen som ger 

fi till mätpunkterna. För att illustrera detta kan vi börja med det enklaste 

fallet, nämligen att vi bildar ett viktat medelvärde av tv˚a mätvärden y1 ± σ1 

och y2 ± σ2. Det viktade medelvärdet ges av µ = w1y1+w2y2 

där wi = w1+w2 

1 

σ2 . Om 

i 

vi nu bildar kvadratsumman f˚ar den tv˚a termer, 

χ 2 2 2 y1 − µ y2 − µ 

= + , 

σ1 

och vi kanske kunde förvänta oss att den skulle följa en χ2-fördelning med tv˚a 

frihetsgrader. Men genom att sätta in uttrycket för µ kan vi skriva om summan 

ovan som 

χ 2 = w1 

w2(y1 − y2 

w1 + w2 

2 

+ w2 

σi 

w1(y2 − y1 

w1 + w2 

σ2 

2 

= w1w 2 2 + w2w 2 1 

(w1 + w2) 2 (y1 − y2) 2 =


w1w2 2 + w2w2 1 

(w1 + w2) 2 (y1 − y2) 2 = w1w2 

(y1 − y2) 

w1 + w2 

2 = 

1 

w1 

+ 1 

w2 

−1 

(y1 − y2) 2 = (y1 − y2) 2 

σ 2 1 + σ2 2 

Men vi vet att variansen av y1 − y2 är just σ 2 1 + σ 2 2, och eftersom y1 och y2 

är mätningar av samma sak är medelvärdet av y1 − y2 lika med noll. Allts˚a är 

(y1 − y2)/ σ 2 1 + σ2 2 en standardnormal variabel, och χ2 -summan är en summa 

av en s˚adan variabel. Följdaktligen blir summan χ 2 -fördelad med en frihetsgrad, 

inte tv˚a. Genom att vi bestämt medelvärdet fr˚an v˚ara tv˚a mätvärden 

kan inte statistiska fluktuationer längre leda till oberoende avvikelser i b˚ada 

mätningarna. Det finns ett sätt mindre för statistiska fluktuationer att bidra till 

summan – antalet frihetsgrader minskar med ett eftersom vi bestämt ett värde 

fr˚an v˚ara data. 

Bildar vi ett viktat medelvärde av N stycken värden kan vi bilda en χ 2 - 

summa p˚a liknande sätt. För enkelhets skull antar vi att det sanna värdet är 

noll, s˚a att alla mätningarna yi har medelvärdet noll. (Detta innebär ingen 

begränsning av giltigheten eftersom noll-punkten för y-skalan kan ändras utan 

att det p˚averkar kvadratsumman.) Vi f˚ar 

χ 2 = 

2 wy 

wi yi − = 

w 

 

 

wi 

och 

i 

χ 2 = 

i 

y 2 i + 

2 

wx wy 

− 2yi = 

w w 

wy 2 − ( wy) 2 

w 

 

2 

wy 

− w 

wy 

 

w 

2 

, 

. 

. (9.2) 

Här är wy2 = 2 yi en summa av N standardnormala variabler (vi valde 

σi 

medelvärdena för yi till noll). Den följande termen kan skrivas ( w)µ 2 där µ 

är det viktade medelvärdet. Detta medelvärde är ocks˚a en stokastisk variabel, 

som ocks˚a har medelvärdet noll. Dess varians σ2 bµ ges av 

(ekvation 4.27). Vi ser att 

1 

σ 2 bµ 

= 

 

w 

wy 

 

w 

i 

1 

σ 2 i 

2 

= w 

 

µ 

= 

och eftersom medelvärdet av µ är noll är detta ocks˚a kvadraten p˚a en standardnormal 

variabel. Medelvärdet av termen efter minustecknet i ekvation 9.2 är 

allts˚a ett, och medelvärdet av kvadratsumman blir N − 1. Vi har inte visat att 

summan blir χ 2 -fördelad i detta fall, men det blir den. Eftersom medelvärdet 

är N − 1 m˚aste den d˚a ha N − 1 frihetsgrader. Ocks˚a d˚a vi bildar det viktade 

medelvärdet av N termer förlorar vi allts˚a en frihetsgrad 4 . 

4 Lägg förresten märke till att ett snarlikt resonemang, där man antar att alla yi är dragna ur 

samma fördelning, kan användas för att visa att man m˚aste dividera med N −1 när man bildar 

stickprovsstandardavvikelsen i ekvation 4.10. Inget antagande om normalfördelade variabler 

krävs för detta. 

σbµ 

2 

,

9.3. CHIKVADRATTEST 101 

Det g˚ar att visa att för en linjär minsta kvadratanpassning som i ekvation 

6.10 blir kvadratsumman χ 2 -anpassad med antalet frihetsgrader lika med antalet 

mätvärden minus antalet anpassade parametrar (N − n). För icke-linjära 

anpassningar gäller detta approximativt. 

Om vi allts˚a gör en anpassning till ett antal mätvärden kan vi i efterhand 

kontrollera om det verkar som om funktionen vi anpassat inte kan beskriva v˚ara 

data. Vi gör allts˚a ett hypotestest, ocks˚a kallat ett ”goodness-of-fit” test, baserat 

p˚a χ 2 -fördelningen. Vi m˚aste d˚a komma ih˚ag att subtrahera antalet anpassade 

parametrar när vi läser av χ 2 -sannolikheten. Som exempel kan nämnas att anpassningen 

i figur 6.2 har χ 2 -sannolikheten p = 78%, medan den i figur 6.4 

(med den avvikande punkten) har p = 2,7 · 10 −5 . Det senare är uppenbarligen 

en mycket d˚alig anpassning, och vi kan utesluta att punkterna stämmer med 

en andragradskurva. Efter att vi tagit bort en punkt (figur 6.7) blir p = 5,3%, 

vilket är n˚agorlunda acceptabelt. 

Ofta ser man det reducerade chikvadratvärdet, 

χ 2 = χ2 

Ndof 

. (9.3) 

Eftersom medelvärdet av χ 2 -fördelningen är Ndof blir medelvärdet av χ 2 lika 

med ett. Om det är mycket större än ett är anpassningen d˚alig. Lägg dock 

märke till att samma avvikelse fr˚an ett kan betyda helt olika saker beroende 

p˚a antalet frihetsgrader, Ndof . För stora värden p˚a Ndof är fördelningen av χ 2 

koncentrerad mycket nära ett, medan avvikelserna kan vara ganska stora för 

f˚a frihetsgrader. Man m˚aste alltid ange b˚ade χ 2 (eller χ 2 ) och Ndof när man 

presenterar resultatet av ett χ 2 -test. Dessutom är det lämpligt att ange p-värdet 

(χ 2 -sannolikheten). 

Om man anpassar en funktion till ett histogram är det ”sanna” värdet fi i bin 

i poissonmedelvärdet i binnen, och det observerade antalet utfall i νi sprids runt 

fi med en standardavvikelse som är σi = √ fi. Men för anpassningen minimerar 

man kvadratsumman i ekvation 7.4 med standardavvikelsen √ νi istället för √ fi. 

Man m˚aste ju definiera osäkerheterna innan man gör anpassningen 5 . När man 

väl har gjort anpassningen, och vill göra ett χ 2 -test, bör man dock använda den 

spridning som den anpassade modellen anger, dvs. σi = √ fi. Kvadratsumman 

för testet blir d˚a 

χ 2 = (νi − fi) 2 

= (Oi − Ei) 2 

fi 

Ei 

, (9.4) 

om vi använder Oi = νi för ”observed” och Ei = fi för ”expected”. 

Om vi gör en oviktad minsta kvadratanpassning (se avsnitt 6.2.4) kan vi 

sedan bestämma χ 2 -summan genom att anta σi = 1 för alla punkter. Vi kan 

kalla denna summa för χ 2 (1). Om vi istället antog ett annat konstant σ skulle 

vi f˚a summan χ 2 (σ) = 1 

σ 2 χ 2 (1), eftersom σ 2 förekommer i nämnaren i alla 

summans termer. Eftersom vi valde värdet 1 helt godtyckligt kan ett χ 2 -test inte 

användas för att testa överensstämmelsen. Däremot kan vi, för att bestämma 

σ, utnyttja att väntevärdet av χ 2 -summan (medelvärdet av χ 2 -fördelningen) är 

5 Man skulle kunna tänka sig ett iterativt förfarande, men det är inte lämpligt att l˚ata 

funktionen som anpassas bestämma felet i punkten den ska anpassas till. Det kan leda till 

instabiliteter i anpassningen.


lika med Ndof . Vi väljer allts˚a σ s˚a att 

χ 2 (σ) = Ndof . 

Detta betyder att 1 

σ 2 χ 2 (1) = Ndof eller 

σ = 

 

χ 2 (1) 

Ndof 

P˚a s˚a sätt kan vi allts˚a uppskatta σ och använda det för att bestämma felen i 

parametrarna. Om vi redan beräknat fel baserade p˚a σ = 1 kan vi bara multiplicera 

dem med σ. En omskalning av alla fel i mätpunkerna ger motsvarande 

omskalning av felen i parametrarna. Detta följer av linjäriteten i parametrarna, 

och kan enkelt kontrolleras t.ex. för den andra av ekvationerna 6.13.

Analys och presentation av fysikexperiment - Fysikum

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?