Analys och presentation av fysikexperiment - Fysikum

28 KAPITEL 3. MÄTNINGAR OCH FEL
där O är omkretsen vid manken, L är hästens längd (fr˚an bringan till bärbensknölen)
och k = 0,084g/cm 3 är en konstant. Vi mäter O och L med ett m˚attband (se
Figur 3.1) och beräknar vikten till 374kg. Hur mycket fel det blir beror p˚a om vi
har tillg˚ang till ett ordentligt m˚attband, om vi läser av ordentligt, om vi lyckas
mäta just där det är tänkt, hur bra receptet är, och om v˚ar häst är av normala
proportioner. Vi kan uppskatta hur stort felet kan vara, men knappast p˚ast˚a att
det har n˚agra väl definierade matematiska eller statistiska egenskaper. Vi skulle
Figur 3.1: M˚attagning för uppskattning av vikten hos en häst.
kunna ta fram en bättre feluppskattning genom att g˚a igenom vad som skrivits
om receptet och kontrollmäta med olika m˚attband och p˚a olika hästar, t.ex. en
som nyligen vägts p˚a en veterinärstation. Det är ganska typiskt att arbetet för
att f˚a fram en bra feluppskattning är mer krävande än själva mätningen. Hur
som helst är det ganska ofta oundvikligt att uppskattningar av osäkerheten är
subjektiva och inte i överensstämmelse med n˚agon exakt definition.
S˚a hur kan vi beräkna det typiska felet i a om vi har bidrag fr˚an mätningar
av flera storheter? För enkelhets skull betraktar vi först fallet där a beror p˚a
tv˚a variabler, x och y. I s˚a fall förenklas ekvation 3.3 till
δa = αδx + βδy ≡ δxa + δya
där felet δa = a − as delats upp i tv˚a termer som beror p˚a felet i x resp. y.
Om mätningarna av x och y är oberoende kommer δxa och δya att anta tv˚a för
oss okända värden som är oberoende av varandra. Om vi lyckats n˚agorlunda
med v˚ar feluppskattning skall dessa värden inte vara s˚a mycket större än v˚ara
uppskattningar ∆xa och ∆ya som vi f˚att genom att göra felpropagering för x
och y var för sig. Nu vill vi allts˚a kombinera ∆xa och ∆ya till en uppskattning
av osäkerheten i a. Följande diskussion, som ”leder” till ekvation 3.6, är i högsta
grad kvalitativ och ingen egentlig härledning. Förhoppningsvis kan den övertyga
den kritiska läsaren om att ekvation 3.6 är rimlig att använda trots att det ofta
är sv˚art eller omöjligt att exakt definiera de ing˚aende storheterna.
Om δxa och δya är oberoende faller det sig naturligt att avsätta dem p˚a
axlarna i ett rätvinkligt koordinatsystem. Figur 3.2 visar ett s˚adant diagram