Analys och presentation av fysikexperiment - Fysikum

42 KAPITEL 4. SANNOLIKHETER OCH STATISTIK
att detta är en uppskattning, ett estimat, av fördelningens medelvärde. Vi kan
uppskatta variansen som 1 N N 1 (xi − µ) 2 och använda µ = x istället för µ (som
vi inte känner). Men eftersom µ = x är beräknat fr˚an v˚ara x-värden kommer de
att ligga bättre centrerade runt µ än runt fördelningens medelvärde µ. Det gör
att vi underskattar spridningen om vi använder uttrycket ovan. Om N är stort
s˚a att medelvärdet är välbestämt spelar det ingen större roll, men för f˚a värden
(litet N) har det betydelse. (Om man bara har ett värde är det uppenbarligen
nonsens att uppskatta spridningen över huvudtaget, s˚avida man inte känner till
mer om den underliggande fördelningen än detta enda x-värde.)
Man kan visa att det är möjligt att korrigera för problemet att spridningen
runt det aritmetiska medelvärdet är ”för liten”, genom att dividera med N − 1
istället för med N, och uppskatta variansen som
s 2 = V = 1
N − 1
N
(xi − µ) 2
1
. (4.9)
Uppskattningen för fördelningens standardavvikelsen blir d˚a den s.k. stickprovsstandardavvikelsen
N
1 s = σ =
(xi − x) 2
N − 1
. (4.10)
Det är ofta inte nödvändigt att använda hatt-beteckningar för att poängtera
att det rör sig om uppskattningar av den bakomliggande fördelningens egenskaper.
Har man bestämt standardavvikelsen fr˚an sina data med ekvation 4.10
kan man beteckna den med σ s˚a länge det inte finns risk för missförst˚and. I
de praktiska räkningarna har man ingen glädje av fördelningens sanna (men
okända) standardavvikelse. Motsvarande gäller för medelvärdet.
När man ska beräkna standardavvikelsen för ett urval x-värden är ekvation
4.10 lite besvärlig eftersom man först m˚aste g˚a igenom alla x-värden för att
bestämma x och sedan bilda (xi − x) 2 för alla xi. Men man kan skriva om
uttrycket för s2 enligt s2 = 1
2 xi + x2 − 2xix =
N−1 i (xi − x) 2 = 1
N−1 i
1 2
N−1 x + Nx2 − 2( x) x . Insättning av x = ( x)/N ger att
s =
1
N − 1
x2 − 1
2
x
N
. (4.11)
Om vi allts˚a summerar v˚ara x-värden och deras kvadrater kan vi direkt beräkna
variansen enligt ovan utan att bilda skillnaderna (xi − x).
4.3 N˚agra sannolikhetsfördelningar
Det finns m˚anga olika sannolikhetstätheter som dyker upp i olika sammanhang
och som kan härledas fr˚an tämligen enkla antaganden. Här följer n˚agra exempel.
Tanken med det här avsnittet är just att ge exempel för att konkretisera.
Dessutom kanske det kan vara bra att g˚a tillbaka och titta i när man stöter p˚a
dessa fördelningar senare.
Den enklaste sannolikhetsfördelning kan i viss mening sägas vara den likformiga
fördelningen, som visas i Figur 4.3. Alla värden inom ett intervall är