Analys och presentation av fysikexperiment - Fysikum

48 KAPITEL 4. SANNOLIKHETER OCH STATISTIK
Men E(x − µ) = 0 och E((x − µ) 2 ) = V (x) = σ2 x, s˚a
2 da
V (a) = σ
dx
2 x .
Standardavvikelsen för a blir allts˚a
σa = da
dx σx
(4.18)
Detta resultat för σa är egentligen självklart! Vi har approximerat a med en
linjär funktion. Det betyder att a-värdena f˚as fr˚an x-värdena genom en translation
och en ändring av skalan. Fördelningen ser allts˚a likadan ut, men den
hamnar p˚a ett annat ställe och bredden ändras med en faktor da
dx .
Ekvation 4.18 är felfortplantningsformeln, ekvation 3.7, för en variabel. Nu
antar vi att vi har mätningar av tv˚a oberoende variabler, x och y som beskrivs
av sannolikhetstätheter f(x) och g(y) med medelvärden µx och µy och standardavvikelser
σx och σy. Att variablerna är oberoende betyder att sannolikheten
f(x)dx för att hamna i ett litet intervall dx är oberoende av vilket värde ymätningen
gav och vice versa. Sannolikheten för att x ska hamna i intervallet
dx samtidigt som y hamnar i intervallet dy blir d˚a f(x)g(y)dxdy. Om vi upprepar
mätningarna m˚anga g˚anger kommer ju en andel f(x)dx att hamna i dx
och av den andelen kommer en andel g(y)dy att hamna i dy.
Vi vill nu bestämma medelvärde och standardavvikelse för en funktion a =
a(x,y) som beror p˚a b˚ada variablerna. Räkningarna blir väldigt lika envariabelfallet
som behandlades ovan. Istället för att som i avsnitt 4.2 integrera över x-
axeln m˚aste vi nu integrera över xy-planet när vi bildar väntevärden. Medelvärdet
av a blir
E(a(x,y)) = a(x,y)f(x)g(y)dxdy , (4.19)
vilket vi kan skriva som
E(a(x,y)) =
dy g(y)
dx a(x,y)f(x)
och utföra integrationen över x först, för y fixt. Ekvation 4.17 ger d˚a att E(a(x,y)) =
dy g(y)a(µx,y). Nu är a(µx,y) en funktion av en variabel, s˚a ekvation 4.17
ger att
E(a(x,y)) = a(µx,µy) (4.20)
En förutsättning är liksom tidigare att a kan behandlas som en linjär funktion.
För funktioner som faktiskt är linjära blir sambandet exakt. Vi ser till exempel
att a = x + y ger
E(x + y) = µx + µy ,
dvs. medelvärdet av en summa är summan av medelvärdena. Detta beror p˚a att
integralen av en summa är summanP av integralerna. P P Motsvarande gäller ocks˚a
(x+y) x+ y
aritmetiska medelvärden: x + y = N = N = x + y. Det är ganska
självklart, men viktigt!
När vi nu har medelvärdet av a kan vi bestämma variansen som tidigare
(”E()” betecknar nu integration över xy-planet, men fortfarande är E(C) = C
om C är en konstant):
V (a) = E [a(x,y) − E(a(x,y))] 2 = E [a(x,y) − a(µx,µy)] 2 =