Analys och presentation av fysikexperiment - Fysikum

40 KAPITEL 4. SANNOLIKHETER OCH STATISTIK
ger en god bild av hur fördelningen ser ut. Klasserna bör väljas s˚a breda att
man i det mest sannolika omr˚adet inte f˚ar stora fluktuationer mellan dem. ˚A
andra sidan förlorar man information genom att välja dem alltför breda. I det
här exemplet kunde vi ha valt en mindre binbredd än 2, men knappast större.
värden/bin
60
40
20
0
95 100 105 110 115
x
Figur 4.2: Ett histogram över värdena i tabell 4.1. Sannolikhetstätheten i Figur
4.1 har multiplicerats med 200, eftersom vi har 200 värden, och med 2, eftersom
varje värde bidrar till histogrammet över över en klassbredd. P˚a detta sätt blir
ytan under kurvan densamma som under histogrammet.
4.2 Medelvärde och standardavvikelse
Antag nu att vi drar N stycken x-värden, x1,x2, ... xN, ur fördelningen f(x)
(t.ex. genom upprepade mätningar). L˚at oss bilda det aritmetiska medelvärdet
av dessa värden:
x =
N
i=1 xi
N
(4.3)
Eftersom de olika xi är dragna slumpmässigt (stokastiskt) kommer ocks˚a x att
bli en stokastisk variabel. Sannolikheten att f˚a ett x-värde i ett intervall ∆x
som är s˚a litet att f kan anses konstant blir f(x)∆x. Om vi l˚ater N bli mycket
stort blir antalet värden i ∆x lika med Nf(x)∆x (se tärningsexemplet ovan).
För mycket stora N kan vi skriva xi = xNf(x)dx, och vi f˚ar allts˚a att
x → xf(x)dx (4.4)
d˚a N → ∞. Vi inför nu fördelningens medelvärde
µ = xf(x)dx (4.5)
som allts˚a är det asymptotiska värde som det aritmetiska medelvärdet närmar
sig när vi har m˚anga x-värden. Integralen i ekvation 4.5 kallas ocks˚a för förväntansvärdet
av x. Den är en ”summa” av alla möjliga x-värden med en vikt
som är proportionell mot hur sannolika de är.