دریافت ٠قالات این ش٠اره

تكانه نشريه علمي دانشجويان فيزيك دانشگاه صنعتي شريف
شماره ‎20‎ پاييز
1391
يا اين كه واحد طولتان را بگيريد
واحد جديد را
50
لالا»‏ »
ميناميم.‏ پ س
200
7
4
كيلومتر.‏ اين
كيلومتر ميشود
لالا.‏ حالا جمع برنيم.‏ در مجموع تا سيب داريد؟ 7
لالا داريد؟ چي داريد الآن آخه؟؟؟؟ د بگو ببينم چييييي
دارييييي آخه ‏(اسمايلي عصبانيت)!!!‏
حال برويم به سراغ استفاده از تحليل ابعادي در يك
مسئله.‏ فرض كنيد كه يك مسئله به شما دادهاند ن ) لاا
مسئله را به شما ميدهيم).‏ اولين كاري كه ميكنيد اين
است كه پارامترهاي درگير در مسئله را مييابيد.‏ دو
مسئله را با هم جلو ببريم:‏ ‏(مسئله ي اول را يك رياضي
كار داده و مسئله دوم را يك فيزيكپيشه.)‏
مسئله اول:‏ يك مثلث قائمالزاويه داريم كه اندازه وتر آن
(a)
و يك زاويه حاده آن
(Θ)
است.‏ مساحت آن را بيابيد.‏
مسئله دوم:‏ مقدار انتظاري شعاع اتم هيدروژن را در حالت
پايه محاسبه كنيد.‏
در مورد مسئله اول كميتهايي كه در مسئله وارد شدهاند
‏(چه آنها كه بهعنوان معلومات اوليه داده شدهاند و چه
مساحت كه ميخواهيم بيابيماش)‏ عبارتند از مساحت
مثلث،‏ اندازه وتر و زاويه حادهاي كه داده شده.‏
(S)
(Θ)
(a)
مسئلهي اول،‏ حلاش را بلديم و ميتوانيم راحت حلش
كنيم،‏ بازيبازي است كه دستمان در تحليل ابعادي راه
بيافتد.‏ اما حل كامل و دقيق مسئله دوم نقل يك ترم
مكانيك كوانتوم خواندن است.‏ اما با راهنمايي كوچك
ميتوانيم مسئله را با تحليل ابعادي حل كنيم.‏ خب اتم
هيدروژن ميشه يه الكترون و يه پروتون.‏ فرض كنيم
پروتون ثابت و الكترون دورش داره ميچرخه ‏(كوانتوم بلد
نيستيم هنوز كه بدونيم نميچرخه!).‏ خب يه نيروي
كولني بينشون هست.‏ پ س يني ثابت نيروي كولن
وارد ميشود.‏ بار الكترون و پروتون هم كه است بايد
بيايد.‏ جرم الكترون
(e)
(K)
،(m e )
هم كه داره ميچرخه در نظر
ميگيريم ‏(براي دقت بيشتر بايد بگوييم كه در واقع جرم
كاهيده را بايد در نظر گرفت،‏ كه در اين مورد جرم پروتون
تقريبا برابر جرم الكترون است،‏ جرم كاهيده همان
جرم الكترون ميشود).‏ از آنجايي كه ميدانيم اين مسئله
كوانتومي است و به عنوان راهنمايي مي گوييم كه بدانيد
كه يك ثابت ديگر به نام ثابت پلانك هم وارد مسئله
،(h)
2000
ميشود.‏ اين دقيقا مثل ساير ثابتها است،‏ چطور است كه
اگر مسئله نسبيتي باشد انتظار داريد سرعت نور بيايد،‏
چهطور است كه اگر گرانش در كار باشد انتظار داريد ثابت
گرانش بيايد،‏ مسئله ماهيت كوانتومي دارد،‏ پس ثابت
پلانك هم بايد ظاهر شود.‏
كميتهاي بيبعد كميتهايي هستند كه هر
آزمايشگري مقدار عددي يكساني در موردشان گزارش
ميكند.‏ پس همگان در مورد آنها اتفاق نظر دارند ‏(در
تبديل واحدها يا همان تغيير دستگاه آحاد اين كميتها
تغييري نميكنند).‏ پس اگر قانون فيزيكي بخواهد نوشته
شود كه اطلاعاتي در مورد طبيعت بدهد،‏ لاجرم بايد بر
حسب كميتهاي بيبعد قابل بيان باشد.‏ كميتهايي كه
همگان در مورد آنها هم نظر هستند ‏(اين مثل اندازه يك
بردار است،‏ چطور است كه بردار در دستگاههاي مختصات
مختلف مولفههاي مختلفي دارد،‏ اما بر سر اندازهاش
همگان اتفاق نظر دارند،‏ كميتهاي بعد دار شبيه مولفهها
هستند و كميت بيبعد شبيه اندازه بردار،‏ همه
آزمايشگاهها آن را يكسان گزارش ميكنند).‏ اگر توجه
كرده باشيد معمولا در كتابها يا مقالات علمي وقتي
ميخواهند محورها را نامگذاري كنند بر حسب كميتهاي
بيبعد نامگذاري ميكنند؛ مثلا در محاسباتي كه دما وارد
⁄
ميشود صحبت از
اگر در مسئله كميتهاي
ميشود كه بيبعد است.‏
بيبعدي چون…,‏ ,
را بسازيم هر چه بخواهيم در مورد مسئله بگوييم به اين
شكل خواهد بود:‏
( , ,…) =0 (1)
يني رابطهاي است بين كميتهاي بيبعد.‏ كه ميتوان آن
را مثلا براي
و Θ.
حل كرد و آن را به اين شكل نوشت:‏
= ( , ,…) (2)
⁄
خُب...‏ در مسئله اول دو كميت بيبعد داريم:‏
پس پاسخ مسئله اين چنين خواهد بود:‏
=(Θ) (3)
و در واقع اگر مساله را حل كنيد () را ميتوان به
دست آورد:‏
(Θ) = 1 2
(4) Θ sin Θ cos
خُب ... (4) Θ sin Θ cos
همينجا ميتوانيم يك نتيجه خوب از آنچه در
مورد مساحت ميدانيم به دست آوريم.‏ ارتفاع وارد بر وتر
را رسم كنيم.‏ ‏(شكل
.(1
5