درÛاÙت Ù ÙاÙات اÛ٠ش٠ارÙ
درÛاÙت Ù ÙاÙات اÛ٠ش٠ارÙ
درÛاÙت Ù ÙاÙات اÛ٠ش٠ارÙ
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
تكانه نشريه علمي دانشجويان فيزيك دانشگاه صنعتي شريف<br />
شماره 20 پاييز<br />
1391<br />
حل معادلات ديفرانسيل با استفاده از روش تحليل ابعادي<br />
غزل محمودي<br />
كارشناسي 88<br />
ghazal.mahmoudi@gmail.com<br />
.1<br />
مقدمه<br />
هر مدل فيزيكي ممكن است، از يك يا چند معادله<br />
ديفرانسيل معمولي يا جزئي تشكيل شده باشد. در نتيجه،<br />
براي اينكه بتوانيم مساله مورد نظر را حل كنيم، بايد اين<br />
دستگاه معادلات ديفرانسيل را حل كنيم. در حالتي كه<br />
اين معادلات خطي باشند، روشهاي زيادي براي حل آن<br />
وجود دارد. حتي در صورت وجود پيچيدگي بيشتر، هنوز<br />
ميتوان براي حل آنها چارهاي انديشيد. يكي از سادهترين<br />
روشها، استفاده از تحليل ابعادي است.<br />
ابتدا مراحلي را كه براي حل يك مدل فيزيكي به روش<br />
تحليل ابعادي بايد انجام دهيم، ارائه مي نماييم و سپس<br />
مثالهايي با همين روش حل ميكنيم. براي به دست<br />
آوردن جواب مدل مورد نظر، مراحل زير را طي ميكنيم:<br />
معادلات مدل مورد نظر را به صورت بي بعد مينويسيم.<br />
الف) با توجه به اين معادلات، كميتهاي موثر در مساله،<br />
شامل؛ كميتها مشخصه مساله، ثابتهاي جهاني مربوط<br />
به مساله و كميتهاي اصلي مساله را تعيين ميكنيم.<br />
, ,…, <br />
ب) كميتهاي بي بعدي را كه از آنها به دست ميآيند،<br />
تعيين ميكنيم.<br />
, ,…, <br />
.2<br />
با توجه به قضيه باكينگهام، مجموعه پارامترهاي<br />
كامل و مستقل، براي ساخت بعد تمام كميتهاي مساله،<br />
−<br />
.3<br />
عضو دارد.<br />
از قضيه باكينگهام، كه در نوشته قبلي توضيح داده<br />
شده است، براي ادامه حل مساله استفاده ميكنيم.<br />
1<br />
1. كيهانشناسي ، مدل فريدمن- روبرتسون- واكر<br />
تابش غالب<br />
يك مدل كيهانشناسي، مدلي است كه با استفاده از<br />
فرضها و اصول موضوعهاي كه تعيين ميكند، بتواند<br />
تحول عالم را در طول زمان توضيح دهد و شواهد رصدي<br />
را كه تاكنون به دست آمده، توجيه كند. همچنين<br />
پيشبينيهايي ارائه دهد تا صحت آن در آينده مورد<br />
بررسي قرار گيرد.<br />
در كيهانشناسي مدلهاي گوناگوني وجود دارد، يكي<br />
از آنها، مدل<br />
(FRW)<br />
.1<br />
.2<br />
نسبيت عام اينشيتين<br />
همگني و همسانگردي عالم<br />
است كه بر چند اصل استوار است:<br />
با استفاده از فرض همگني و همسانگردي متريك<br />
فريدمن- روبرتسون- واكر نتيجه ميشود و با قراردادن اين<br />
متريك در معادله اينيشتين، دو معادله به دست ميآيد،<br />
2<br />
كه همان معادلات فريدمن هستند :<br />
<br />
= 8 − <br />
3 + Λ<br />
3<br />
<br />
=−4 3<br />
+<br />
3<br />
+Λ 3<br />
1<br />
2<br />
كه در اين معادلات،<br />
<br />
ضريب مقياس است، كه<br />
معياري از شعاع در حال انبساط عالم است. و به<br />
ترتيب، چگالي و فشار عالم است. انحناي فضازمان است<br />
كه ميتواند مقادير<br />
−1,0,1<br />
را داشته باشد. و نهايتاً Λ<br />
ثابت كيهانشناسي است. حل اين مدل، عبارت است از به<br />
دست آوردن<br />
ثابتهاي مساله.<br />
،<br />
و برحسب تابعي از زمان و<br />
1 Friedman-Robertson-Walker<br />
2 Eric V. Linder, First Principles of Cosmology<br />
7
Change language