Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

c○ MIM UW, 2010/11 51gdyż pierwszą cyfrę różną od dziewiątki, niezerową, można wybrać na 8 sposobów, a każdąz N − 1 kolejnych na 9 sposobów. Zatem∑( )1n ≤ 8 · 1 9 N−1 9N−1 ·10 N−1 = 8 .10n∈A NSumując te nierówności, nietrudno stwierdzić, że S ≤ 80 = 8 ∑ q j , gdzie q = 9/10 ∈ (0, 1),a indeks j = N − 1 przybiera wartości 0, 1, 2, . . . □Podamy, na zakończenie tego podrozdziału, jeszcze jedno bardzo ogólne kryteriumzbieżności szeregów o wyrazach dodatnich.Stwierdzenie 4.26 (kryterium Kummera). Załóżmy, że a n > 0 dla wszystkich n > n 1 .Wówczas szereg ∑ a n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba θ > 0 orazliczby nieujemne b n , żeb n ·a na n+1− b n+1 ≥ θ dla wszystkich n ≥ n 0 . (4.7)Dowód. Jeśli szereg ∑ a n jest zbieżny, to przyjmujemy b n = (1/a n )·∑∞k=n+1 a k dla n > n 1 .Wtedy1 · a ∑n∞ ∑∞b n ·a na n+1− b n+1 =a n · a n+1k=n+1a k − 1a n+1k=n+2a k = a n+1a n+1= 1,więc warunek (4.7) zachodzi dla θ = 1 i n ≥ n 1 . Na odwrót, stosując (4.7) dla n ≥ n 2 =max(n 0 , n 1 ), otrzymujemya n b n − a n+1 b n+1 ≥ θa n+1 > 0 (4.8)więc począwszy od miejsca n 2 ciąg a n b n jest malejący i ma wyrazy dodatnie, tzn. ma granicęskończoną. Przeto szereg o wyrazach θ −1 (a n b n − a n+1 b n+1 ) jest zbieżny: jego sumyczęściowe to s N = θ −1 (a 1 b 1 − a N b N ). Z kryterium porównawczego i nierowności (4.8) wynikateraz zbieżność szeregu ∑ a n . □Przykład 4.27. Kładąc w (4.7) b n = n, otrzymujemy łatwo tzw. kryterium Raabego: 6Jeśli a n > 0 i istnieje taka liczba s > 1, że( )ann − 1 ≥ s dla wszystkich n ≥ n 0 , (4.9)a n+1to szereg ∑ a n jest zbieżny.(Uwaga: Czytelnik może sprawdzić, że wykorzystując warunek (4.9) i własności funkcjiwykładniczej, można wykazać, że dla r ∈ (1, s) i wszystkich dostatecznie dużych n jesta n+1 /a n ≤ b n+1 /b n , gdzie b n = 1/n r . Szereg ∑ 1/n r jest zbieżny dla r > 1. Zatem, niezależnieod kryterium Kummera, każdy szereg ∑ a n spełniający warunek (4.9) jest zbieżnyna mocy ilorazowej wersji kryterium porównawczego, patrz Stw. 4.14.)Ćwiczenie 4.28. Proszę sprawdzić, jaki wniosek otrzymamy, biorąc w kryterium Kummerab n ≡ 1 dla wszystkich n.6 A raczej: tę jego cześć, która służy do uzasadniania zbieżności szeregów, patrz np. książka Fichtenholza.