Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

c○ MIM UW, 2010/11 45Jednak ln ( 1 + 1 )k = ln((k+1)· 1k) = ln(k+1)−ln k, zatem sumę logarytmów w poprzednimwzorze łatwo jest obliczyć: jest ona równa ln(n + 1) − ln 1 = ln(n + 1). Otrzymujemy stąd,oznaczając dla krótkości n-tą sumę częściową szeregu harmonicznego przez s n ,s n+1 − 1 ≤ ln(n + 1) ≤ s n . (4.2)Ponieważ ln(n + 1) → ∞ dla n → ∞, więc s n nie ma skończonej granicy, gdy n → ∞.Przykład 4.10. Szereg ∑ ∞n=1 1 n 2 jest zbieżny. Istotnie, dla każdej liczby n ≥ 2 mamy1n 2 < 1(n − 1)n = 1n − 1 − 1 n ,a zatems n = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 · · · + 1 (n 2 < 1 + 1 − 1 ) ( 1+2 2 3)− 1 ( 1+ · · · +n − 1 − 1 )= 2 − 1 n n < 2.Ciąg (s n ) sum częściowych tego szeregu jest rosnący (bo wyrazy szeregu są dodatnie) iograniczony z góry przez liczbę 2, jest więc zbieżny. □4.1 Szeregi o wyrazach dodatnichBadanie zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich jest łatwiejsze od badania zbieżnościszeregów o dowolnych wyrazach rzeczywistych. W podręcznikach Analizy można znaleźćbardzo wiele tzw. kryteriów zbieżności szeregów, tzn. twierdzeń, podających warunki dostatecznezbieżności (lub rozbieżności) szeregu. Nie będziemy podawać długiej listy takichtwierdzeń 2 ; zadowolimy się skromnym zestawem, który do wielu celów w zupełnościwystarcza.Zacznijmy od banalnej obserwacji.Stwierdzenie 4.11. Jeśli a n > 0 dla wszystkich n ∈ N, to szereg∞∑n=1jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum częściowych s n = a 1 + a 2 + · · · + a n jestograniczony z góry.Dowód. Ciąg (s n ) jest niemalejący, gdyż a n > 0 dla wszystkich n. Dlatego zbieżność s n dogranicy skończonej jest równoważna ograniczoności s n , patrz Twierdzenie 2.28. Ponieważs n > 0, więc trzeba (i wystarcza) sprawdzać tylko ograniczoność z góry. □Najprostszy zestaw kryteriów zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich w gruncierzeczy można ograniczyć do dwóch faktów: kryterium porównawczego i kryterium zagęszczeniowego.Każde z nich wykorzystuje jasną, intuicyjną ideę. Sens kryterium porównawczegojest taki, że jeśli można określić sumę pewnego nieskończonego zestawu liczbdodatnich, to można także określić sumę liczb mniejszych (która będzie mniejsza). Kryteriumzagęszczeniowe można opisać tak: grupując dodatnie wyrazy, łatwiej jest dostrzec,jak szybko (lub wolno) rosną sumy częściowe szeregu.a n2 Zainteresowanych odsyłam do podręcznika Fichtenholza i książki Knoppa o szeregach nieskończonych.