Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

50 wersja robocza z dnia: 1 czerwca 2011jest rozbieżny. Ustalmy liczbę N. Niech P N = {p : p pierwsza, p ≤ N}. Wtedy( ∑)1exppp∈P N= ∏≥≥exp(1/p)p∈P N ∏ (1 + 1 )pp∈P N∑ 1n .1≤n≤Nn bezkwadr.gdyż exp(x) ≥ 1 + xW ostatniej linijce występuje suma odwrotności wszystkich liczb bezkwadratowych 4 n,n ≤ N; nietrudno zauważyć, że mnożąc wszystkie nawiasy (1 + 1 p) szkolną metodą ‘każdyz każdym’, otrzymamy tylko odwrotności liczb bezkwadratowych: wszystkich liczb bezkwadratowych≤ N i niektórych liczb bezkwadratowych > N.Wiemy już, że 2 > ∑ 1≤n≤N 1 dla każdego N (patrz Przykład 4.10); mnożąc tę nierównośćprzez poprzednią,n 2otrzymujemy( ∑)12 exppp∈P N≥≥( ∑1≤n≤Nn bezkwadr.N∑n=11n) (1 ∑·n1≤n≤N(4.2)≥ ln(N + 1) .)1n 2Zatem∑ 1≥ ln ln(N + 1) − ln 2,pp∈P Na więc sumy częściowe szeregu (4.6) nie są ograniczone. 5□Przykład 4.25 (szereg Kempnera). Niech A będzie zbiorem tych liczb naturalnych, wktórych zapisie dziesiętnym w ogóle nie występuje cyfra 9. Wtedy szereg∑n∈Ajest zbieżny, a jego suma S nie przekracza liczby 80. Aby się o tym przekonać, oznaczmy1nA N = A ∩ [10 N−1 , 10 N − 1](jak widać, A N to podzbiór A złożony z liczb N-cyfrowych). Liczba elementów A N jestrówna#A N = 8 · 9 N−1 ,4 Mówimy, że n jest liczbą bezkwadratową, jeśli n nie dzieli się przez żaden pełny kwadrat różny od 1;równoważnie, n jest liczbą bezkwadratową, gdy jest iloczynem różnych liczb pierwszych.5 Rozbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych wykazał L. Euler w 1737 roku, w nieco inny sposóbod zaprezentowanego tutaj.