c○ MIM UW, 2010/11 75Wniosek 4.76. Jeśli α ∈ R i n ∈ N, tocos nα = Re ( e iα) n , sin nα = Im(eiα ) n .Znając wzór de Moivre’a (i dwumian Newtona) można bez trudu wyrażać cos nα orazsin nα przez cos α i sin α. Ciekawsze, i ważniejsze jest zastosowanie do wyznaczania sumsinusów oraz cosinusów kolejnych wielokrotności α — aby takie sumy obliczać, wystarczyumieć sumować postęp geometryczny, bowiem∑k 2∑k 2cos nα = Re ( e iα) (∑ k2n (= Re eiα ) )n.n=k 1 n=k 1 n=k 1(Dla sum sinusów trzeba użyć części urojonej.)Zadanie 4.77. Sprawdzić, że jeśli x ∈ R i exp(ix) ≠ 1, toN∑sin nx = sin( Nx/2 ) sin ( (N + 1)x/2 ).sin(x/2)n=0Znaleźć analogiczny wzór na sumę cosinusów. Jak zmienią się oba wzory, gdy przestaniemyzakładać, że exp(ix) ≠ 1?Na tym zakończymy pierwsze spotkanie z szeregami. Chciałbym, żeby Czytelnik tegotekstu nie tylko uważał szeregi za pewne obiekty matematyczne, które (być może) wartopoznawać i badać same w sobie, ale widział w nich przede wszystkim narzędzie, służącem.in. do definiowania różnych funkcji, systematycznego badania ich własności, oraz obliczaniaich wartości. To ma szczególne znaczenie praktyczne wtedy, gdy – mówiąc nieprecyzyjnie– szeregi są zbieżne szybko. Tak właśnie jest w przypadku szeregów exp, sini cos, z uwagi na błyskawiczne tempo wzrostu silni. Dopóki obliczamy np. wartości e xdla niezbyt dużych x, możemy w praktyce traktować funkcję exp jako wielomian, złożonyz pewnej liczby składników szeregu ∑ (x n /n!); np. e 3 różni się od ∑ 50n=0 3n /n! naprawdęniewiele: około 10 −42 .In[1]:= N[Exp[3], 44]Out[1]= 20.085536923187667740928529654581717896987908In[2]:= N[Sum[3^n/n!, {n, 0, 50}], 44]Out[2]= 20.085536923187667740928529654581717896987906Gdybyśmy chcieli z taką dokładnością określić odległość Ziemi od Słońca, nanometrybyłyby zdecydowanie za dużymi jednostkami. Jeśli ktoś woli myśleć o wielkościach związanychz ekonomią, a nie z astronomią czy fizyką, może sprawdzić, jakie jest zadłużeniebudżetu USA. Stronahttp://www.brillig.com/debt_clock/
76 wersja robocza z dnia: 1 czerwca 2011podaje je z dokładnością do 1 centa, aktualizując wartości co parę sekund. Taka precyzjaz praktycznego punktu widzenia graniczy z absurdem, ale dokładność przybliżenia50∑n=03 nn! ≈ e3jest i tak o 25 rzędów wielkości lepsza.Takie uwagi mogą kogoś zaciekawić, jednak – aby lepiej rozumieć, co się naprawdę zanimi kryje – musimy w miarę systematycznie poznać takie pojęcia, jak ciągłość, różniczkowalnośći zbieżność jednostajna. Ich ścisłe definicje oraz własności poznamy w kolejnychrozdziałach.
- Page 4: c○ MIM UW, 2010/11 45Jednak ln (
- Page 8 and 9: c○ MIM UW, 2010/11 49Proszę zauw
- Page 10 and 11: c○ MIM UW, 2010/11 51gdyż pierws
- Page 12 and 13: c○ MIM UW, 2010/11 53Intuicja zwi
- Page 14 and 15: c○ MIM UW, 2010/11 55Szereg ∑
- Page 16 and 17: c○ MIM UW, 2010/11 57Lemat. Jeśl
- Page 18 and 19: c○ MIM UW, 2010/11 59gdzie A k =
- Page 20 and 21: c○ MIM UW, 2010/11 61• środek,
- Page 22 and 23: c○ MIM UW, 2010/11 63dla wszystki
- Page 24 and 25: c○ MIM UW, 2010/11 65Korzystając
- Page 26 and 27: c○ MIM UW, 2010/11 67Portret exp,
- Page 28 and 29: c○ MIM UW, 2010/11 69Z definicji
- Page 30 and 31: c○ MIM UW, 2010/11 71Zatem s n (y
- Page 32 and 33: c○ MIM UW, 2010/11 73Twierdzenie
Change language