Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

52 wersja robocza z dnia: 1 czerwca 2011Czytelnik, który zetknął się z powyższymi kryteriami i przykładami, a także samodzielnierozwiązał pewną liczbę zadań, może zadać sobie pytanie: czy istnieje jakiś idealny,wzorcowy szereg, którego zawsze można byłoby używać w kryterium porównawczym?Odpowiedź jest negatywna: dla każdego szeregu zbieżnego istnieje szereg, któryjest zbieżny wolniej. . .Przykład 4.29. Załóżmy, że b n > 0 dla n ∈ N i szereg ∑ b n jest zbieżny. NiechR n =∞∑j=n+1oznacza różnicę między sumą szeregu ∑ b n i jego n-tą sumą częściową. Wtedy oczywiścieR n maleje do 0, gdy n → ∞. Przyjmijmy a n = √ R n−1 − √ R n dla n ≥ 2. Mamyb ja 2 + a 3 + · · · + a n = √ R 1 − √ R n(suma liczb a j jest teleskopowa), a więc szereg ∑ n≥2 a n jest zbieżny i ma sumę równą√R1 . Jednak√a n Rn−1 − √ R n 1== √b n R n−1 − R n Rn−1 + √ −→ +∞,R nczyli zbieżności szeregu ∑ a n nie można wywnioskować ze zbieżności ∑ b n i kryteriumporównawczego!4.2 Interludium: zbieżność ciągów i szeregów zespolonychDo tej pory mówiliśmy wyłącznie o ciągach i szeregach w R. Wiele obserwacji i wniosków,dotyczących takich ciągów i szeregów, można przenieść na ciągi i szeregi liczb zespolonych.7 Nam w najbliższym czasie takie ciągi i szeregi przydadzą się do trzech rzeczy:• określenia exp(z) dla z ∈ C,• ścisłego wprowadzenia funkcji trygonometrycznych,• wskazania jasnego związku funkcji trygonometrycznych z funkcją wykładniczą.Zacznijmy ponownie od definicji. Są one prostym uogólnieniem tego, co już znamy. Założymy,że Czytelnik zna (np. z wykładów algebry liniowej) pojęcie liczby zespolonej i jejmodułu.Definicja 4.30. Ciąg (z n ) ⊂ C jest zbieżny do granicy z ∈ C wtedy i tylko wtedy, gdy dlakażdego ε > 0 istnieje n 0 ∈ N takie, że |z n − z| < ε dla wszystkich n > n 0 .7 Użycie takich ciągów i szeregów jest rzeczą wygodną, nawet wtedy, gdy koniec końców interesują naswyłącznie obliczenia mające fizyczny lub praktyczny sens. Podczas studiów matematycznych Czytelnik przekonasię wielokrotnie, że liczby zespolone są niezwykle użytecznym narzędziem obliczeniowym; często bywatak, że najkrótsza droga do nietrywialnego wzoru czy twierdzenia dotyczącego liczb rzeczywistych prowadziprzez dziedzinę zespoloną.