Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

68 wersja robocza z dnia: 1 czerwca 20114.5 Funkcje trygonometryczneIstnieje wiele równoważnych sposobów ścisłego definiowania funkcji trygonometrycznych.Jeden z nich polega na wykorzystaniu ich związku z funkcją wykładniczą zmiennej zespolonej.Definicja 4.58. Dla każdej liczby zespolonej z ∈ C przyjmujemycos z =exp(iz) + exp(−iz)2, sin z =exp(iz) − exp(−iz)2iWzory użyte w tej definicji będziemy nazywać wzorami Eulera.Twierdzenie 4.59 (własności funkcji trygonometrycznych). Dla każdego z ∈ C zachodząrówności:(T1) (sin z) 2 + (cos z) 2 = 1.(T2) exp(iz) = cos z + i sin z, a ponadto.cos z =sin z =∞∑k=0(−1) k z2k(2k)! = 1 − z22! + z44! − z66! + · · · , (4.16)∞∑(−1) k z 2k+1(2k + 1)! = z − z33! + z55! − z77! + · · · (4.17)k=0Wreszcie,(i oba szeregi są bezwzględnie zbieżne).(T3) dla każdego ciągu (z n ) ⊂ C \ {0}, który jest zbieżny do zera, zachodzą równościsin z ncos z n − 1lim = 1, lim= 0.n→∞ z n n→∞ z nDowód. Wprost z definicji funkcji trygonometrycznych i równościotrzymujemy(cos z) 2 + (sin z) 2 ==exp(z) exp(w) = exp(z + w)( ) exp(iz) + exp(−iz) 2 ( ) exp(iz) − exp(−iz) 2+22iexp(2iz) + 2 + exp(−2iz) exp(2iz) − 2 + exp(−2iz)+4−4= 4 4 = 1,tzn. własność (T1). Mamy takżecos z + i sin z =exp(iz) + exp(−iz)2+ iexp(iz) − exp(−iz)2i= exp(iz) .