Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

c○ MIM UW, 2010/11 65Korzystając z tej równości i z własności grupowej exp(z+w) = exp(z) exp(w), w przypadkuogólnym piszemyexp(ξ n ) = exp(ξ n − ξ) · exp(ξ) → 1 · exp(ξ) = exp(ξ) ,gdyż ξ n − ξ → 0. Dowód jest zakończony.□Uwaga. Czytelnik zechce zauważyć, że schemat dowodu jest w gruncie rzeczy taki sam,jak w przypadku rzeczywistym: dowodzimy najpierw różniczkowalności exp, a potem ciągłościexp. Kluczem do obu własności jest oszacowanie modułu różnicy exp(z) − 1 − z dlamałych z. W przypadku rzeczywistym najpierw dowodziliśmy oszacowania (E6) w Twierdzeniu3.2, a z niego wynikała i różniczkowalność, i ciągłość funkcji wykładniczej.Portret exp, I. Wykres funkcji f(x, y) = Re (exp(x + iy)) nad prostokątem −2 ≤ x ≤ 1.5, 0 ≤ y ≤ 12.56;innymi słowy, wysokość punktu powierzchni nad dolnym dnem pudełka jest równa Re (exp(x + iy)). Szarelinie to poziomice (jak na mapie: wysokość na poziomicy ma jedną, ustaloną wartość. Kolory powierzchnizależą liniowo od części urojonej liczby exp(x + iy). Przednia krawędź powierzchni odpowiada wartości y =Im z = 0: widzimy wykres exp na R.Na zakończenie tego podrozdziału wykażemy, że funkcja wykładnicza jest jednoznaczniewyznaczona przez dwie swoje własności.