Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

c○ MIM UW, 2010/11 53Intuicja związana z tą definicją jest prosta i w gruncie rzeczy taka sama, jak w R:do każdej, choćby i bardzo małej, liczby dodatniej ε potrafimy dobrać taki moment n ε , żepocząwszy od tego momentu wszystkie wyrazy ciągu (z n ) będą oddalone od z mniej niż oε — tzn. znajdą się wewnątrz dysku D(z, ε) = {w ∈ C: |w − z| < ε}.Podobnie określa się zbieżne szeregi liczb zespolonych.Definicja 4.31. Niech (z n ) ⊂ C. Szereg ∑ z n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciągsum częściowych s n = z 1 + z 2 + · · · + z n ma granicę s ∈ C.Zauważmy, że jeśli w = a + ib ∈ C, gdzie a, b ∈ R, tomax(|a|, |b|) ≤ |w| ≤ |a| + |b|. (4.10)Interpreacja geometryczna tej nierówności jest oczywista: przeciwprostokątna trójkątao wierzchołkach 0, a, w = a + ib ∈ C jest dłuższa, niż każda przyprostokątna z osobna,ale krótsza od sumy przyprostokątnych. Z tej łatwej nierówności otrzymujemy szybkonastępujące użyteczne wnioski.Stwierdzenie 4.32. Ciąg liczb z n = x n +iy n ∈ C, gdzie x n , y n ∈ R, jest zbieżny do granicyz = x + iy (x, y ∈ R) wtedy i tylko wtedy, gdylim x n = x,n→∞lim y n = y.n→∞Dowód. Zapisujemy (4.10) dla w = z n − z, a = x n − x i b = y n − y, a następnie korzystamyz definicji granicy i twierdzenia o trzech ciągach. □Stwierdzenie 4.33. Szereg ∑ z n , gdzie z n = x n + iy n dla pewnych x n , y n ∈ R, jest zbieżnywtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są oba szeregi ∑ x n , ∑ y n . □Stwierdzenie 4.34. Ciąg (z n ) ⊂ C jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunekCauchy’ego:(C) Dla każdej liczby ε > 0 istnieje n ε ∈ N takie, że dla wszystkich m, k > n ε zachodzinierówność |z m − z k | < ε.Dowód. Ze Stwierdzenia 4.32 i Twierdzenia 2.37 wynika, że zbieżność (z n ) jest równoważnakoniunkcji warunków Cauchy’ego dla ciągów (x n ) = (Re z n ) i (y n ) = (Im z n ). Wobecnierówności (4.10), (x n ) i (y n ) spełniają warunek Caychy’ego (w R) wtedy i tylko wtedy,gdy (z n ) spełnia warunek Cauchy’ego. □Stwierdzenie 4.35. Szereg liczb zespolonych ∑ z n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy(S) Dla każdej liczby ε > 0 istnieje n ε ∈ N takie, że|z k + z k+1 + · · · + z m | < ε dla wszystkich m > k > n ε .Dowód. To wynika z definicji szeregu zbieżnego i poprzedniego stwierdzenia.□