Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

56 wersja robocza z dnia: 1 czerwca 2011a także: (2) jeśli N jest parzyste, toS mN= ∑j≤m Na σ(j) < xW kolejnym kroku w przypadku (1) dobieramy kolejne dostępne jeszcze (tzn. niewykorzystanewcześniej) ujemne wyrazy a kj szeregu, aż do momentu, gdy uzyskamy sumęczęściową mniejszą od x. Można to osiągnąć, gdyż szereg wyrazów ujemnych jest rozbieżny.Natomiast w przypadku (2) dobieramy kolejne dostępne jeszcze wyrazy dodatnie,aż do momentu, gdy uzyskamy sumę częściową większą od x. Numery wyrazów, którewybieramy w (N + 1)-szym kroku, to wartości σ w liczbach m N + 1, . . . , m N+1 .Postępując indukcyjnie, definiujemy σ : N → N. Jest to bijekcja, gdyż każdy wyrazwykorzystujemy tylko raz i każdy wyraz zostaje kiedyś wykorzystany. Łatwo zauważyć,że σ(n) → ∞, gdy n → ∞. Sumy częściowe S n szeregu ∑ a σ(n) oscylują wokół liczby x, gdyżtak były wybierane. W dodatku różnice między tymi sumami i liczbą x są coraz mniejsze,gdyż a n → 0 dla n → ∞ (to jest warunek konieczny zbieżności szeregu ∑ a n ).Ściślej, nie jest trudno sprawdzić, że ciąg S n spełnia warunek Cauchy’ego. To wynikaz konstrukcji σ i zbieżności a n → 0. Ponadto, ciąg S mN jest zbieżny do x. Zatem, cały ciągS n też jest zbieżny do x. □Uwaga. Nietrudno sprawdzić, że jeśli ∑ a n jest tylko warunkowo zbieżny, to można takprzestawić wyrazy, żeby po przestawieniu ciąg sum częściowych był rozbieżny do +∞ (albodo −∞). Czytelnik, po zapoznaniu się z dowodem twierdzenia Riemanna, bez większegotrudu wskaże odpowiednie permutacje wyrazów.Uwaga. Jeśli szereg liczb zespolonych ∑ z n jest zbieżny warunkowo, ale nie bezwzględnie,to na płaszczyźnie zespolonej C istnieje taka prosta l, że dla każdej liczby w ∈ ldla pewnej bijekcji σ : N → N.4.3.2 Przekształcenie Abela∞∑z σ(n) = wn=1W tym podrozdziale zajmiemy się opisem warunków, które pozwalają wnioskować, żeszereg ∑ a n b n jest zbieżny. Wygodnie będzie przyjąć następującą konwencję: jeśli wyrazyszeregu oznaczamy jakąś małą literą (np. a, b, . . .), to sumy częściowe tego szeregu oznaczamyodpowiednią wielką literą (A, B, . . .).Twierdzenie 4.40 (Abel). Niech (a n ), (b n ) ⊂ C. Załóżmy, że istnieje taka liczba M > 0,że |A n | = |a 1 + a 2 + · · · + a n | ≤ M dla wszsytkich n, a ponadto∞∑|b n − b n+1 | < +∞ oraz b n → 0 dla n → ∞,n=1to wtedy szereg ∑ a n b n jest zbieżny.Dowód. Najpierw zapiszmy pomocniczy