Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

54 wersja robocza z dnia: 1 czerwca 20114.3 Szeregi o wyrazach dowolnych4.3.1 Zbieżność bezwzględna i warunkowaDefinicja 4.36. Szereg ∑ z n jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg∑ |zn | jest zbieżny.Szereg, który jest zbieżny, ale nie bezwzględnie, nazywa się warunkowo zbieżny. Przykładytakich szeregów zobaczymy później; jednym z nich jest ∑ ∞n=1 (−1)n+1 /n (który niejest bezwzględnie zbieżny, gdyż ∑ 1/n = ∞).Stwierdzenie 4.37. Jeśli szereg ∑ z n jest bezwzględnie zbieżny, to ∑ z n jest zbieżny.Dowód. Jeśli szereg ∑ z n jest bezwzględnie zbieżny, to, z definicji, szereg liczb nieujemnych∑ |z n | jest zbieżny, a więc spełnia warunek Cauchy’ego dla szeregów. Mamy jednak|z k + z k+1 + · · · + z m | ≤ |z k | + |z k+1 | + · · · + |z m |dla wszystkich m > k, więc skoro ∑ |z n | spełnia warunek Cauchy’ego, to i ∑ z n spełniaten warunek. To zaś oznacza, że ∑ z n jest zbieżny. □Pojęcie zbieżności bezwzględnej jest ważne z uwagi na następujące twierdzenie.Twierdzenie 4.38. Załóżmy, że szereg ∑ ∞n=1 z n jest bezwzględnie zbieżny, a σ : N → N jestdowolną bijekcją. Wtedy szereg ∑ ∞n=1 z σ(n) jest zbieżny, a ponadto∞∑z σ(n) =n=1Innymi słowy, wyrazy szeregu bezwzględnie zbieżnego można dowolnie przestawiać;nie wpływa to ani na jego zbieżność, ani na wartość jego sumy.∞∑n=1Dowód. Ustalmy ε > 0. Dobierzmy n 0 ∈ N tak, abyz n|z k | + |z k+1 | + · · · + |z m | < ε 2dla wszystkich m > k ≥ n 0(istnienie takiej liczby n 0 wynika z bezwzględnej zbieżności ∑ z n i warunku Cauchy’ego).Biorąc k = n 0 i przechodząc do granicy m → ∞, otrzymujemy∞∑j=n 0|z j | ≤ ε 2 < ε.Niech m j ∈ N będzie taką liczbą, że σ(m j ) = j, gdzie j = 1, 2, . . ., tzn. m j := σ −1 (j). Dlan ∈ N połóżmy k(n) = n + max(m 1 , m 2 , . . . , m n ). Wtedy k(n) jest ciągiem rosnącym.Zauważmy, że dla numerów l > k(n 0 ) mamy σ(l) > n 0 , gdyż σ jest bijekcją i wartości1, 2, . . . , n 0 przymuje w liczbach nie większych od k(n 0 ). Zatem, dla wszystkich m > k >n 1 = max(n 0 , k(n 0 )) spełniona jest nierówność|z σ(k) + z σ(k+1) + · · · + z σ(m) | ≤ |z σ(k) | + |z σ(k+1) | + · · · + |z σ(m) |∞∑≤ |z j | < ε .j=n 0