Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

c○ MIM UW, 2010/11 69Z definicji cosinusa,( n∑2 cos z = exp(iz) + exp(−iz) = limn→∞k=0Ponieważi k + (−i) k =⎧(1 + (−1) k) ⎨i k =⎩i k z kk!+ (−i)k z k )= limk! n→∞n∑k=0z k (i k + (−i) k) .k!0, gdy k jest nieparzyste,2, gdy k jest podzielne przez 4,−2, gdy k = 4l − 2 dla pewnego l ∈ N,więc łatwo wynika stąd wzór (4.16) (zostają tylko składniki o parzystych numerach, zeznakami na przemian). Zbieżność bezwzględna szeregu (4.16), tzn. zbieżność szeregu1 + |z|22!+ |z|44!+ |z|66!+ · · ·wynika stąd, że j-ta suma częściowa nie przekracza (2j −1)-szej sumy cześciowej szeregu1 + |z| + |z|22!+ |z|33!+ |z|44!+ |z|55!+ · · · = exp(|z|) .Podobnie dowodzimy wzoru (4.17) i bezwzględnej zbieżności występującego w nim szeregu.To kończy dowód własności (T2).Dla dowodu (T3) ustalmy ciąg z n → 0 (z n ≠ 0 dla wszystkich n ∈ N) i napiszmysin z n= exp(iz n) − exp(−iz n )= 1 ( exp(izn ) − 1+ exp(−iz )n) − 1.z n 2iz n 2 iz n −iz nZ własności (v) zespolonej funkcji wykładniczej wynika, że każdy ze składników w nawiasiema dla n → ∞ granicę równą 1, więc z twierdzenia o arytmetycznych własnościachgranic otrzymujemy (sin z n )/z n → 1. Podobnie radzimy sobie z cosinusem, pisząccos z n − 1z n= exp(iz n) + exp(−iz n ) − 22z n= i 2( exp(izn ) − 1+ exp(−iz )n) − 1.iz n iz nTym razem dla n → ∞ pierwszy składnik w nawiasie ma granicę równą 1, a drugi granicęrówną −1. Dlatego ich suma ma granicę 0. □Ze wzorów (4.16), (4.17) otrzymujemy natychmiastWniosek 4.60. Dla każdego z ∈ C jest cos(−z) = cos z, sin(−z) = − sin z.□Wniosek 4.61. Jeśli x ∈ R, to sin x, cos x ∈ R ∩ [−1, 1]. Ponadto, cos 0 = 1, sin 0 = 0.Dowód. Sumy szeregów (4.16) i (4.17) są, rzecz jasna, liczbami rzeczywistymi, gdy z = x ∈R. To, że sin x oraz cos x należą do przedziału [−1, 1], wynika z własności (T1). Wartościsinusa i cosinusa w zerze obliczamy, wstawiając z = 0 we wzorach (4.17) i (4.16). □Wniosek 4.62 (ciągłość funkcji trygonometrycznych). Dla każdego ciągu (z n ) ⊂ Ctakiego, że lim z n = z ∈ C, mamylim sin z n = sin z ,n→∞lim cos z n = cos z .n→∞