Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

c○ MIM UW, 2010/11 55Szereg ∑ ∞n=1 z σ(n) spełnia więc warunek Cauchy’ego, tzn. jest zbieżny.Ponadto, dla wszystkich n ≥ n 0 jest∣n∑j=1k(n) ∣∑ ∣∣∣z j − z σ(j) ≤ ∑|z n | < εj=1j≥n 0a więc granica ciągu s n = z 1 + · · · + z n i granica wskazanego wyżej podciągu (o numerachk(n)) sum częściowych szeregu ∑ z σ(n) różnią się co najwyżej o ε. Z dowolności ε wynikazatem, że obie wspomniane granice są równe, a więc sumy obu szeregów są równe. Tokończy cały dowód. □Założenie bezwzględnej zbieżności w ostatnim twierdzeniu jest istotne. Bez niego tezanie zachodzi. Co więcej, ma miejsce następujący zaskakujący fakt.Twierdzenie 4.39 (Riemann). Jeśli (a n ) ⊂ R i szereg ∑ a n jest warunkowo (ale nie bezwzględnie!)zbieżny, to dla każdej liczby rzeczywistej x istnieje taka bijekcja σ : N → N,że∞∑a σ(n) = xn=1Dowód. Opiszemy dowód słowami, gdyż dzięki temu będzie bardziej zrozumiały. ZainteresowanyCzytelnik zdoła samodzielnie uzupełnić drobne szczegóły.Nietrudno zauważyć, że szereg ∑ a n ma nieskończenie wiele wyrazów dodatnich inieskończenie wiele wyrazów ujemnych, gdyż w przeciwnym razie wszystkie wyrazy odostatecznie dużych numerach byłyby tego samego znaku, a więc ∑ a n byłby nie tylkozbieżny, ale i bezwzględnie zbieżny.Niech n 1 < n 2 < n 3 < . . . będą kolejnymi numerami wyrazów ujemnych, a k 1 < k 2 x. Kładziemy σ(1) = k 1 ,σ(2) = k 2 , . . . , σ(m) = k m . Następnie zmniejszamy uzyskaną sumę, korzystając z ujemnychwyrazów szeregu: wybieramy najmniejszą liczbę s taką, żej=1a k1 + · · · + a km + a n1 + · · · + a ns < xPrzyjmujemy teraz σ(m + 1) = n 1 , σ(m + 2) = n 2 , . . . , σ(m + s) = k s . Zarówno m, jak i s,są dobrze określone, gdyż szeregi wyrazów dodatnich i wyrazów ujemnych są rozbieżne.Niech m 1 = m, m 2 = m + s.Załóżmy teraz, że wykonaliśmy N podobnych kroków, definiując σ(j) dla wszystkichj ≤ m N , gdzie m N ≥ N. Wyrazy o numerach ≤ m N są już wykorzystane, a wyrazy onumerach > m N — jeszcze dostępne. Załóżmy także, że (1) jeśli N jest nieparzyste, toS mN = ∑a σ(j) > x,j≤m N