Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

c○ MIM UW, 2010/11 63dla wszystkich n > k > n 0 , gdyż ciąg b n (|z|) jest zbieżny jako ciąg sum częściowych zbieżnegoszeregu b(|z|), a więc spełnia warunek Cauchy’ego.Ustalmy teraz jakiekolwiek konkretne k > n 0 , tak, aby prócz powyższej nierównościna ∣ ∣β k,n (|z|) ∣ ∣ mieć także |b k (z)−b(z)| < ε/3. Jest to możliwe, gdyż b k (z) → b(z) dla k → ∞.Na koniec wybierzmy n 1 > k, tak, aby dla wszystkich n > n 1 mieć|α k,n (z)| ≤ b(|z|) k2n < ε 3 .Widać, że wystarczy wziąć n 1 > 3k 2 b(|z|)/ε. Przy takim doborze n 1 każdy z trzech składnikówprawej strony nierówności (4.13) będzie mniejszy od ε/3. Zatem, wprost z definicjigranicy, lim n→∞ a n (z) = b(z). □Definicja 4.53. Dla każdej liczby zespolonej z ∈ C kładziemy(exp(z) = lim 1 + z ) n ∑∞ z n=n→∞ n n! .Jak widać, dla rzeczywistych z określamy tę samą funkcję, co w poprzednim rozdziale.Twierdzenie 4.54 (własności exp w dziedzinie zespolonej). Funkcja exp: C → C manastępujące własności:(i) exp(z + w) = exp z · exp w dla wszystkich z, w ∈ C;n=0(ii) Dla wszystkich z ∈ C jest exp z ≠ 0, exp(−z) = (exp z) −1 .(iii) Dla z = iy, gdzie y ∈ R, mamy exp(iy) = exp(−iy) oraz | exp(iy)| = 1.(iv) Dla wszystkich z ∈ C jest | exp(z)| = exp(Re z).(v) Dla każdego zbieżnego do zera ciągu (z n ) ⊂ C (z n ≠ 0 dla wszystkich n) i dla każdegow ∈ C zachodzi równośćexp(w + z n ) − exp(w)lim= exp(w) . (4.14)n→∞ z nDowód. Własność (i) udowodnimy, posługując się twierdzeniem Mertensa i równością∞∑ z nexp(z) = b(z) =n! .Ponieważ szereg b(z) jest zbieżny bezwzględnie dla wszystkich z, więc b(z)b(w) jest, wobectwierdzenia Mertensa, sumą iloczynu Cauchy’ego (szeregu b(z) i szeregu b(w)). Inaczejmówiąc, iloczyn exp(z) exp(w) tob(z)b(w) ===∞∑n=0( n∑j=0∞∑n=0∞∑n=01n!n=0z jj! · w n−j )(n − j)!(z definicji iloczynu Cauchy’ego i tw. Mertensa)( n∑ ( )nj)z j · w n−jj=0(dopisujemy n! w liczniku i mianowniku)1n! (z + w)n (korzystamy z dwumianu Newtona)= b(z + w) = exp(z + w) .