Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

72 wersja robocza z dnia: 1 czerwca 2011Jeśli y ∈ [ 406623, 2], to |y − 2| ≤23, a więc, dzięki nierówności | cos 2 − cos y| ≤ |2 − y| ≤23(z poprzedniego Lematu) i powyższemu oszacowaniu liczby cos 2, z pewnością jestDowód Lematu 4.67 jest zakończony.cos y ≤ − 7 23 + 6 23 = − 123 < 0.□Dowód Twierdzenia 4.64. Ponieważ cos x maleje na [0, 2], więc ma w tym przedziale conajwyżej jedno miejsce zerowe. NiechA = {x ∈ [0, 2]: cos x > 0} .Z monotoniczności cosinusa wynika, że ten zbiór jest przedziałem. Z ostatniego lematuwynika ponadto, że[0, 1) ⊂ A, A ⊂ [0, 40/23],a więc kres górny x 0 przedziału A jest pewną liczbą z przedziału [1, 40/23] ⊂ [1, 7/4).Ponadto, cos x 0 = 0. Istotnie, liczba x 0 jest granicą ciągu x n = x 0 (1 − 1 n ) ∈ A i dlategoz ciągłości cosinusa cos x 0 = lim cos x n ≥ 0. Gdyby cos x 0 > 0, to wobec równości0 < cos x 0 = limm→∞ cos(x 0 + m −1 )byłoby cos(x 0 + 1 m) > 0 dla wszystkich dostatecznie dużych m, tzn.x 0 + 1 m ∈ A, x 0 + 1 m > x 0 = sup A,to zaś jest sprzeczność.□Definicja 4.68 (liczba π). Liczba π to liczba rzeczywista równa 2x 0 , gdzie x 0 ∈ (0, 2) jestjedyną w przedziale (0, 2) liczbą taką, że cos x 0 = 0.Twierdzenie 4.69. Zachodzą wzorye iπ/2 = i, e iπ + 1 = 0.Dowód. Wiemy już, że cos π 2= 0. Zatem, z równości(cos π ) 2 (+ sin π ) 2= 12 2wynika, że sin π 2 = ±1 = 1, bo wiemy już, że sin x > 0 na (0, 2). Zatem exp(i π 2) = 0+1·i = i.Stąd wynika, że(e πi = e π ·i) 22 = i 2 = −1 .To kończy dowód.□Definicja 4.70. Liczba T ≠ 0 jest okresem funkcji f : C → C (odpowiednio: funkcjif : R → R) wtedy i tylko wtedy, gdy f(z + T ) = f(z) dla każdego z ∈ C (odpowiednio:dla każdego z ∈ R).