Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

c○ MIM UW, 2010/11 71Zatem s n (y) rośnie i ma wyrazy dodatnie. Dlatego lim s n (y) > 0 i sin y < y dla y ∈ (0, 2].Podobnie sprawdzamy, że sin y > 0 dla y ∈ (0, 2]: to wynika stąd, że każdy składnik poprawej stronie równości) ( )sin z =(y − y3 y5+3! 5! − y7+ · · ·7!jest dodatni, gdy y ∈ (0, 2].□Lemat 4.66. Cosinus jest malejący na przedziale [0, 2], tzn.x 1 , x 2 ∈ [0, 2], x 2 > x 1 ⇒ cos x 2 < cos x 1 . (4.18)Ponadto, dla wszystkich x 1 , x 2 ∈ [0, 2] jest| cos x 2 − cos x 1 | ≤ |x 2 − x 1 | .Dowód. Korzystając ze wzoru na różnicę cosinusów (patrz Stwierdzenie 4.63), piszemydla x 1 < x 2 , x 1 , x 2 ∈ [0, 2]cos x 2 − cos x 1 = −2 sin x 2 − x 12sin x 2 + x 12dla x 1 < x 2 , x 1 , x 2 ∈ [0, 2].Jednak y = x 2−x 12∈ (0, 1], więc zgodnie z poprzednim Lematem jest sin y > 0. Podobnie,sin x 2+x 12> 0, gdyż (x 1 +x 2 )/2 ∈ (0, 2]. Oba sinusy w powyższej równości są więc dodatnie,a stąd cos x 2 − cos x 1 < 0.Ponadto, przy założeniu 2 ≥ x 2 > x 1 ≥ 0 jest| cos x 2 − cos x 1 | = 2∣ sin x 2 − x 1sin x ∣2 + x 1∣∣∣ 2 2 ∣ ≤ 2 sin x 2 − x 12 ∣ = 2 sin x 2 − x 1≤ x 2 − x 1 .2W ostatniej nierówności skorzystaliśmy z tego, że sin y ≤ y na (0, 2].Lemat 4.67. Dla każdej liczby x ∈ [0, 1) jest cos x > 0, a dla każdej liczby y ∈ [ 4023, 2] jestcos y < 0.Dowód. Po pierwsze, dla każdej liczby x ∈ [0, 1) mamy wobec nierówności z poprzedniegoLematu: |1 − cos x| = | cos 0 − cos x| ≤ |0 − x| = x < 1, a więc cos x > 0. Oszacujemy terazliczbę cos 2. Mamy(cos 2 = 1 − 22 242! + 4! − 266!( 24= −1 +4! − 266!≤ −1 + 244! + 288!< −1 + 244!= −1 + 1624 ·)+) ( 28+( 288! − 21010!8! − 21010!)+ · · ·)+ · · ·+ · · · (opuszczamy ujemne składniki w nawiasach)(1 + 245 4 + 285 8 + · · · )11 − ( 25) 4< −1 + 1624 ·11 − 124□= − 7 23 , gdyż ( 25) 4< 1 24 .