Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

58 wersja robocza z dnia: 1 czerwca 2011są, niezależnie od n, ograniczone przez liczbę M = 2/|1 − z|, gdyż |1 − z n | ≤ 1 + |z| n = 2.Ponieważ |z n /n| = 1/n, więc rozpatrywany szereg nie jest bezwzględnie zbieżny.W tym przykładzie można zamiast 1/n użyć dowolnego ciągu b n malejącego do zera itakiego, że b n ≥ 1/n — żadna konkluzja nie ulegnie zmianie. □Zadanie 4.45. Udowodnić kryterium Leibniza bezpośrednio, nie posługując się twierdzeniemAbela. (Wskazówka: zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągów (s 2k ) i (s 2k+1 ),gdzie s n oznacza n-tą sumę częściową rozważanego szeregu.)Zadanie 4.46. Udowodnić następujące twierdzenie, nazywane czasem kryterium Abela:Jeśli b n jest malejącym ciągiem liczb dodatnich, a szereg ∑ a n jest zbieżny, toszereg ∑ a n b n jest zbieżny.Wskazówka. Wykorzystać pierwszą linijkę (4.11) i wykazać, że ciąg S n sum częściowychszeregu ∑ a n b n spełnia warunek Cauchy’ego.4.3.3 Mnożenie szeregów i twierdzenie MertensaZe zdroworozsądkowego punktu widzenia, mnożenie szeregów ∑ a n i ∑ b n powinno polegaćna próbie sprawdzenia, czy zbieżny będzie szereg, który (w jakimś porządku) zawierawszystkie składniki a i b j , które uzyskalibyśmy, mnożąc formalnie jedną sumę przezdrugą. Czytelnik rozumie już, że zbieżność takiego szeregu może zależeć od tego, jak uporządkujemyliczby a i b j .Definicja 4.47. Jeśli (a n ), (b n ) ⊂ C, to iloczynem Cauchy’ego szeregów ∑ ∞n=0 a n i ∑ ∞nazywamy szereg o wyrazachn∑c n = a j b n−j .j=0n=0 b nInnymi słowy, w iloczynie Cauchy’ego grupujemy a i b j tak, aby w każdej grupie sumai + j miała stałą wartość — tzn. postępujemy tak, jak przy mnożeniu wielomianów wszkole, gdzie nauczono nas grupować składniki z tą samą potęgą zmiennej x.Twierdzenie 4.48 (F. Mertens). Jeśli szereg A = ∑ ∞n=0 a n jest zbieżny, a szereg B =∑ ∞n=0 b n jest zbieżny bezwzględnie, to ich iloczyn Cauchy’ego, tzn. szeregC =∞∑c n =n=0∞∑n=0( n∑j=0a j b n−j)jest zbieżny. Ponadto, jeśli szereg A jest zbieżny bezwzględnie, to i szereg C jest zbieżnybezwzględnie.Dowód. Niech, dla n ≥ 0, zgodnie z przyjętą wcześniej konwencją, C n = c 0 + c 1 + · · · + c noznacza n-tą sumę częściową szeregu C. Wykorzystując definicję c n , porządkujemy C N ,grupując wyrazy zawierające wspólny czynnik b j :C N = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 ) + · · · + (a 0 b N + a 1 b N−1 + · · · + a N b 0 )= b 0 (a 0 + a 1 + · · · + a N ) + b 1 (a 0 + a 1 + · · · + a N−1 ) + · · · + b N a 0N∑= b j A N−j ,j=0