Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej.

48 wersja robocza z dnia: 1 czerwca 2011Czytelnik może sam sprawdzić, że taki sam wzór ma miejsce dla q ∈ (−1, 0].Stwierdzenie 4.18 (kryterium zagęszczeniowe). Jeśli (a n ) jest malejącym ciągiem liczbdodatnich, to szeregi∞∑n=1a noraz∞∑b n , gdzie b n = 2 n a 2 n ,n=1są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.Dowód. Niech s n = a 1 + a 2 + · · · a n , t n = b 1 + b 2 + · · · + b n . Zauważmy, że dzięki monotonicznościciągu (a k ) i równości 2 k + 2 k = 2 k+1 jesta 2 n +1 + a 2 n +2 + · · · + a 2 n+1} {{ }2 n składników; każdy jest ≤ a 2 n≤ 2 n a 2 n = b nSumując te nierówności dla n = 1, 2, . . . , N, otrzymujemy()= 2 · 2 n−1 a 2 n ≤ 2 · a 2 n−1 +1 + a 2 n−1 +2 + · · · + a 2 n} {{ }2 n−1 składników; każdy jest ≥ a 2 n.s 2 N+1 − a 1 − a 2 ≤ t N =N∑b n ≤ 2s 2 N(proszę zauważyć, że zaczynamy od a 3 +a 4 ≤ b 1 = 2a 2 , stąd kosmetyczny dodatek −a 1 −a 2po lewej stronie wyżej). Zatem, ciągi monotoniczne (t N ) i (s m ) są albo jednocześnie ograniczone,albo jednocześnie nieograniczone. Teza kryterium zagęszczeniowego wynika więcze Stwierdzenia 4.11. □Zaleta tego kryterium jest taka, że (dzięki dodatkowemu założeniu o monotonicznościciągu a n ) szereg o wyrazach b n zachowuje się – używając przenośni – tak samo, co szerego wyrazach a n , tylko w sposób bardziej oczywisty, łatwiejszy do zauważenia. Najlepiejzobaczyć to na przykładach.Przykład 4.19. Oto trzeci dowód rozbieżności szeregu harmonicznego: jeśli a n = 1/n, tob n = 2 n a 2 n = 2 n ·n=1a szereg z samych jedynek jest oczywiście rozbieżny.Przykład 4.20. Szereg∞∑n=21n ln n12 n = 1,jest rozbieżny. Istotnie, dla a n = 1/(n ln n) otrzymujemyb n = 2 n a 2 n = 2 n ·□12 n ln 2 n = 1n ln 2 ,więc rozbieżność rozważanego szeregu wynika z rozbieżności szeregu harmonicznego ikryterium zagęszczeniowego. □