Matematické základy počítačové grafiky - Barborka - Vysoká škola ...

1.3 Ortonormalita afinní transformace 5musí mít jisté speciální vlastnosti. Této znalosti můžete využít jednak při stanovenímatice A a také při manipulaci s ní. Po přečtení této podkapitoly budete umětortonormality transformací využívat.Jak délky, tak úhly (které mají být při ortonormální transformaci zachovány)souvisí se skalárním součinem. Uvažujme vektory x, y. Zopakujme, že skalární součinvektorů x, y (značíme jej zde ⟨x,y⟩) zavádíme vztahem⟨x, y⟩ = xy ⊤ . (1.7)Připomeňme dále dobře známé vztahy pro délku (|x|) vektoru x a pro úhel (φ)dvou vektorů x, y. Víte, že platí|x| = √︀ ⟨x, x⟩ = √ xx ⊤ , (1.8)cos φ =⟨x, y⟩|x| |y| = xy⊤|x| |y| . (1.9)Je zřejmé, že jestliže transformace nemění hodnotu skalárního součinu, pak takéúhly a délky nejsou transformací změněny. Nechť x 1 , x 2 jsou vektory reprezentujícípočáteční a koncový bod vektoru x. Je tedy x = x 2 −x 1 . Afinní transformací(1.2) přejde vektor x ve vektor (x 2 A+t) − (x 1 A+t) = (x 2 −x 1 )A = xA. Při transformacivektoru se tedy translační složka transformace reprezentovaná vektorem tvůbec neuplatní (což jste ale asi intuitivně očekávali). Významná je naopak ta částtransformace, která je reprezentována maticí A. Podmínku zachování skalárníhosoučinu vyjádříme rovnicíOdtud pak plyne požadavek⟨x, x⟩ = ⟨xA, xA⟩ . (1.10)xx ⊤ = (xA) (xA) ⊤ = xAA ⊤ x ⊤ . (1.11)Z předchozího vztahu je již zřejmé, že afinní transformace bude zachovávat hodnotuskalárního součinu tehdy, jestliže bude splněna podmínka AA ⊤ = I, kde I je jednotkovámatice. Uvedená podmínka je nutnou a postačující podmínkou ortonormalitytransformace. Z definice inverzní matice máme A −1 A=I. Vidíme tedy, že dále musíplatitA −1 = A ⊤ . (1.12)Uvedené zjištění má praktický význam. Ukazuje, jak lze jednoduše vypočítat inverznímatici k matici ortonormální transformace. Inverzní matice se jednodušerovná matici transponované. Ukažme konečně ještě jednu vlastnost matice ortonormálnítransformace, a to, že její determinant musí být roven hodnotě ±1. Zdůvodnění