Matematické základy počítačové grafiky - Barborka - Vysoká škola ...

1.4 Projektivní prostor, projektivní transformace 11Transformace popsaná uvedenou maticí provádí změnu měřítka na ose x. Můžete seo tom snadno přesvědčit, když transformaci maticí T aplikujete na bod o souřadnicích(x, y, z, 1). Dostanete (x, y, z, 1)T = (s x x, y, z, 1).Změna měřítka na všech osách⎡ ⎤1 0 0 0T = ⎢0 1 0 0⎥⎣0 0 1 0⎦0 0 0 1 sTransformace provádí změnu měřítka na všech souřadnicových osách, což je patrnéze vztahu (x, y, z, 1)T = (x, y, z, 1 ) → (sx, sy, sz, 1) (symbolem → jsme označilisoperaci normalizace homogenních souřadnic).Zkosení⎡ ⎤1 a 0 0T = ⎢0 1 0 0⎥⎣0 0 1 0⎦0 0 0 1Transformace, která je popsána touto maticí, bývá obvykle nazývána zkosením. Jeopět jednoduché se přesvědčit o oprávněnosti tohoto názvu. Provedením násobenídostáváme (x, y, z, 1)T = (x, y + ax, z, 1). Vidíme, že rovina y = const transformacípřejde v rovinu y = const + ax (tedy „zkosí se“; a je směrnice úhlu zkosení).Roviny x = const, z = const zůstanou uvedenou transformací nedotčeny. Maticepopisující transformaci, která by „zkosila“ také tyto roviny, lze snadno zkonstruovatanalogicky, což ponecháváme čtenáři jako drobné samostatné cvičení.Posunutí⎡ ⎤1 a 0 0T = ⎢ 0 1 0 0⎥⎣ 0 0 1 0⎦p x 0 0 1Jak vyplývá ze vztahu (x, y, z, 1)T = (x + p x , y, z, 1), popisuje tato matice posunutíbodu o hodnotu p x ve směru souřadné osy x. Matice realizující translace ve směrusouřadných os y, z jsou triviální modifikací matice zde uvedené.Rotace⎡⎤c s 0 0T = ⎢−s c 0 0⎥⎣ 0 0 1 0⎦0 0 0 1Transformace popsaná uvedenou maticí je rotací kolem souřadnicové osy z. Symbolys, c značí hodnoty sinu, resp. kosinu úhlu rotace. Musí být s 2 + c 2 = 1. Provedením