Matematické základy počítačové grafiky - Barborka - Vysoká škola ...

2.1 Křivka a její vlastnosti 351) Explicitní křivky y = f(x), kde x ∈ JPříklad: y = x 2 + x + 1, jedná se o parabolu.2) Implicitní křivky F (x, y) = 0.Příklad: (x+9) 2 +(y−2) 2 −4 = 0 kružnice se středem v bodě [−9, 2] a s poloměrem2.3) Parametrické křivky x = x(t), y = y(t), v případě prostoru z = z(t) kde parametrt ∈ ⟨a, b⟩.Příklad: x = t, y = t 2 , kde t ∈ R je parabola s vrcholem v počátku a poloměremr.Příklad 2.10. Definujte kružnici k se středem v počátku souřadné soustavy a poloměremr, ve všech typech výše popsaných rovnic.☞Řešení. Kružnic lze popsat jako∙ množinu bodů (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 − r 2 = 0 ,∙ graf funkce y = √ r 2 − x 2 ∪ y = − √ r 2 − x 2 ,∙ trajektorii bodu x(t) = r cos(t), y(t) = r sin(t), kde t ∈ ⟨0, 2π⟩.Jak lze již vidět z příkladu, mají různé typy vyjádření křivek různý význama s tím spojené své výhody i nevýhody. Obecně lze říci, že v případě počítačové grafikyje nejvhodnějším tvarem parametrická rovnice, se kterou se budeme v další částisetkávat nejvíce. To ale neznamená, že by se ostatní tvary nepoužívaly. Implicitnítvar má svůj význam například v případě výpočtu průsečíků křivek a ploch. Explicitníkřivky jsou zase nejjednodušší z hlediska konstrukce, kde je můžeme jednodušekonstruovat jako lomené čáry. Výhodou parametrických křivek je, že mají přirozenýmzpůsobem určen směr jejich procházení. Je snadné např. generovat posloupnostbodů pro jejich lineární aproximaci. Jejich specifickou vlastností je omezenost.Další typ dělení křivek může být podle zadání:∙ křivky dané analytickým předpisem (svým matematickým zápisem). Nejvhodnějšízadání, ať již jde o kterýkoliv z dříve uvedených způsobů. V praxi se všakobvykle s tímto zadáním nesetkáme a musíme výsledný analytický předpis vypočítat,abychom s křivkou mohli dále pracovat.∙ křivky dané jednotlivými body. Podle požadavků zadání pak obvykle řešímeinterpolační nebo aproximační křivkou (obecný algebraický polynom, metodanejmenších čtverců apod.). Příkladem může být průběh měření teploty.