Matematické základy počítačové grafiky - Barborka - Vysoká škola ...

1.5 Stanovení matice zobrazovací transformace – příklad A 173. Posuneme počátek pootočené souřadné soustavy proti směru její osy z’ o délkuf tak, aby její počátek padl do zobrazovací roviny. (Po provedení dosud vyjmenovanýchtří kroků leží rovina xy souřadné soustavy v rovině projekce. Středprojekce leží na ose z soustavy, a to v její kladné části ve vzdálenosti f odpočátku.)4. Provedeme projekci (nyní se již jedná o speciální případ uvedený v přehledutransformací v předchozí podkapitole, kdy střed projekce leží na ose z a zobrazovacírovina je z = 0).Označíme-li matice uvedených transformací postupně jako T 1 , T 2 , T 3 , T 4 , pakhledaná výsledná matice T bude jejich součinem T = T 1 T 2 T 3 T 4 . S využitím výsledkůz předchozí podkapitoly můžeme ihned psát vztahy pro matice T 1 , T 3 , T 4 .MámeT 1 =⎡⎤1 0 0 0⎢ 0 1 0 0⎥⎣ 0 0 1 0⎦ , T 3 =−p x −p y −p z 1⎡ ⎤ ⎡1 0 0 01 0 0 0⎢0 1 0 0⎥⎣0 0 1 0⎦ , T 4 = ⎢0 1 0 0⎣0 0 1 − 1 f0 0 f 10 0 0 1Ke stanovení zbývající matice rotace T 2 použijeme postupu popsaného v podkapitole1.2 a v příkladě 1.1. K tomu určíme souřadnice bázových vektorů souřadné soustavypo rotaci (nová souřadná soustava) vzhledem k souřadné soustavě platné předrotací (stará souřadná soustava). Bázové vektory staré souřadné soustavy označmex, y, z. Bázové vektory nové souřadné soustavy jsou x’, y’, z’. (Poznamenejme,že i když je souřadná soustava platná před rotací vůči původní soustavě ve scénějiž posunuta, jsou její bázové vektory x, y, z stále tytéž jako u původní souřadnésoustavy ve scéně.) Pro polohu souřadné soustavy po rotaci máme podmínku, abyosa z’ byla kolmá k zobrazovací rovině (aby tedy měla směr zadaného vektoru n).Podmínka však nespecifikuje polohu nové souřadné soustavy jednoznačně (soustavamůže zatím rotovat kolem své osy z’). Zvolíme proto další doplňující podmínku.Požadujeme, aby směr osy x’ soustavy po rotaci byl kolmý nejen k ose z’, ale takék ose z souřadné soustavy před rotací, tedy k vektoru z = (0, 0, 1). Předpokládámepři tom, že vektory n a z nejsou kolineární. Z uvedených podmínek mámez ′ = n ,x ′ = z × n|z × n| = (−n y, n x , 0)√︀ , n2x + n 2 y⎤⎥⎦ .y ′ = z ′ × x ′ = (n x , n y , n z ) × (−n y, n x , 0)√︀ n2x + n 2 y= (−n xn z , −n y n z , n 2 x + n 2 z)√︀ n2x + n 2 y.